Twierdzenie Gleasona-Kahane-Żelazki

Twierdzenie Gleasona-Kahane-Żelazki – w teorii przemiennych algebr Banacha twierdzenie charakteryzujące funkcjonały liniowo-multiplikatywne na zespolonych, przemiennych algebrach Banacha z jedynką. Twierdzenie udowodnione niezależnie przez Gleasona oraz Kahane i Żelazkę.

Wprowadzenie

Niech $A$ będzie algebrą Banacha z jedynką $1.$ Niech $GL(A)$ oznacza grupę elementów odwracalnych w $A$ oraz niech $f\in A^{*}$ będzie niezerowym funkcjonałem liniowo-multiplikatywnym na $A.$ Wówczas

• $f(1)=1.$ Rzeczywiście, $f(1)=f(1\cdot 1)=f(1)\cdot f(1).$ Oznacza to, że $f(1)$ jest skalarem równym swojemu kwadratowi, czyli $f(1)=0$ lub $f(1)=1.$ Pierwszy przypadek jest jednak niemożliwy, ponieważ $f$ jest niezerowym funkcjonałem, a $f(a)=f(1)f(a)$ dla każdego $a\in A,$ skąd $f(1)=1.$
• Dla każdego $a\in GL(A)$ wartość $f(a)$ jest niezerowa. Rzeczywiście, $1=f(1)=f(a)\cdot f(a^{-1}).$

Twierdzenie Gleasona-Kahane-Żelazki gwarantuje, że te dwie własności charakteryzują funkcjonały liniowo-multiplikatywne na zespolonych przemiennych algebrach Banacha z jedynką.

Twierdzenie

Niech $A$ będzie zespoloną, przemienną algebrą Banacha z jedynką $1$ oraz niech $f\in A^{*}$ będzie ograniczonym, niezerowym funkcjonałem liniowym. Wówczas $f$ jest multiplikatywny wtedy i tylko wtedy, gdy

• $f(1)=1,$
• $f(a)\ne 0$ dla każdego $a\in GL(A).$

Innymi słowy $f$ jest multiplikatywny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $a\in A$ wartość $f(a)$ należy do $\sigma (a),$ tj. widma elementu $a.$

Bibliografia

• E. Kaniuth, A Course in Commutative Banach Algebras Grad. Texts in Math., vol. 246, Springer, New York (2009), s. 45.