Twierdzenie Frobeniusa (centralizator macierzy)

Szablon:Dopracować Twierdzenie Frobeniusa – twierdzenie o centralizatorze macierzy noszące nazwisko Ferdinanda Georga Frobeniusa.

Jeśli $A$ jest macierzą kwadratową stopnia $n$ nad ciałem $F,$ $d_i$ są czynnikami niezmienniczymi macierzy charakterystycznej $A-XI$ nad pierścieniem wielomianów $F[X],$ a $D_i$ są największymi wspólnymi dzielnikami minorów stopnia $i$ macierzy charakterystycznej $A-XI$ dla $i=1,2,\dots ,n,$ to zbiór $Z(A)$ wszystkich macierzy kwadratowych stopnia $n$ nad ciałem $F$ przemiennych z $A$ jest podprzestrzenią przestrzeni macierzy o wymiarze

$\dim Z(A)=\sum _{i,j=1}^n\min (\mathrm{deg}{d}_i,\mathrm{deg}{d}_j)=2\sum _{i=1}^n\mathrm{deg}{D}_i-n,$

gdzie $\mathrm{deg}$ oznacza stopień wielomianu.