Twierdzenie Eulera (okręgi)

Twierdzenie Eulera – twierdzenie matematyczne, opisujące relację między okręgami opisanym i wpisanym w trójkąt.

Teza

Jeżeli w danym trójkącie $d$ jest odległością pomiędzy środkiem okręgu wpisanego i środkiem okręgu opisanego, to zachodzi

$d^2=R(R-2r),$

gdzie $R$ i $r$ oznaczają odpowiednio promień okręgu opisanego i wpisanego.

Dowód

Niech:

• $O$ będzie środkiem okręgu o promieniu $R$ opisanego na danym trójkącie $ABC,$
• $I$ środkiem okręgu o promieniu $r$ wpisanego w ten trójkąt.

Dwusieczna $AI$ kąta $\mathrm{\angle }BAC$ przecina okrąg opisany w pewnym punkcie $L,$ który połowi łuk $BC.$

Niech prosta $LO$ przecina okrąg opisany w punkcie $M.$

Niech $D$ będzie rzutem prostokątnym $I$ na $AB:$ $ID=r.$

Trójkąty $ADI$ i $MBL$ są podobne (cecha: równość kątów), a zatem $ID:BL=AI:ML,$ czyli $ID\cdot ML=AI\cdot BL,$ tzn. $2Rr=AI\cdot BL.$ Rozważmy trójkąt $BIL.$

Ponieważ

$\mathrm{\angle }BIL=\frac{\mathrm{\angle }BAC}{2}+\frac{\mathrm{\angle }ABC}{2}$

($BI$ jest dwusieczną kąta $\mathrm{\angle }ABC$),

$\mathrm{\angle }IBL=\frac{\mathrm{\angle }ABC}{2}+\mathrm{\angle }CBL=\frac{\mathrm{\angle }ABC}{2}+\frac{\mathrm{\angle }BAC}{2},$

więc $\mathrm{\angle }BIL=\mathrm{\angle }IBL$ i $BL=IL,$ skąd $AI\cdot IL=2Rr.$ Niech prosta $OI$ przecina okrąg opisany w punktach $P$ i $Q.$ Wtedy $PI\cdot QI=AI\cdot IL=2Rr,$ czyli $(R+d)(R-d)=2Rr,$ tzn. $d^2=R(R-2r).$

Uwagi

Z twierdzenia tego wynika nierówność Eulera:

$R⩾2r.$