Twierdzenie Dijkstry o trójkątach

Twierdzenie Dijkstry o trójkątach – twierdzenie określające związek między kątami i bokami w trójkącie. Sformułowane przez Edsgera Dijkstrę w okólniku EWD975 z 1986 rokuSzablon:R.

W epilogu okólnika autor pisze: „Znajduję się w paradoksalnej sytuacji. Jestem przekonany, że spośród osób znających twierdzenie Pitagorasa, niemal nikt nie jest w stanie przeczytać powyższego nie zaskoczywszy się choć raz. Co więcej, uważam te wszystkie zaskoczenia za istotne (ponieważ świadczą o ich [roli w] kształceniu rozumowania). Mimo to nie znam żadnego szanowanego periodyku, w którym mógłbym podjąć ten daremny trud”, przy czym ostatnie sformułowanie odnosi się do pozornie bezowocnego zajmowania się twierdzeniem PitagorasaSzablon:R.

Twierdzenie

Jeżeli w dowolnym trójkącie naprzeciw boków długości $a,b$ i $c$ znajdują się odpowiednio kąty $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ to zachodzi równość:

$\mathrm{sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\mathrm{sgn}(a^2+b^2-c^2),$

gdzie $\mathrm{sgn}$ oznacza funkcję signum.

Dowód

Jest to trywialny wniosek z twierdzenia cosinusów:

$\mathrm{sgn}(a^2+b^2-c^2)=\mathrm{sgn}(a^2+b^2-a^2-b^2+2ab\cos \gamma )=\mathrm{sgn}(2ab\cos \gamma )=\mathrm{sgn}(\cos \gamma ),$

z drugiej strony

$\mathrm{sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\mathrm{sgn}(\alpha +\beta +\gamma -2\gamma )=\mathrm{sgn}(180^{\circ }-2\gamma )=\mathrm{sgn}(90^{\circ }-\gamma ).$

Równość znaków wyrażeń

$\cos \gamma ,90^{\circ }-\gamma$

wynika natomiast z własności funkcji $\cos$Szablon:R.