Twierdzenie Chinczyna

Twierdzenie Wienera-Chinczyna (twierdzenie Chinczyna-Wienera) głosi, że widmowa gęstość mocy słabo stacjonarnego procesu jest transformatą Fouriera odpowiadającej procesowi funkcji autokorelacji.

W przypadku ciągłym:

$S_{xx}(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{r}_{xx}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau ,$

gdzie:

$r_{xx}(\tau )=\mathrm{E}[x(t)x^{*}(t-\tau )]$

jest funkcją autokorelacji wyrażoną przez statystyczną wartość oczekiwaną, oraz gdzie

$S_{xx}(f)$

oznacza widmową gęstość mocy procesu $x(t).$

Symbol gwiazdki oznacza sprzężenie zespolone, może zostać pominięty dla procesu losowego o wartościach rzeczywistych.

Przypadek dyskretny:

$S_{xx}(f)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{r}_{xx}[k]e^{-j2\pi kf},$

gdzie:

$r_{xx}[k]=\mathrm{E}[x[n]x^{*}[n-k]]$

oraz

$S_{xx}(f)$

jest widmową gęstością mocy $x[n].$ Jest w tym przypadku funkcją okresową w dziedzinie częstotliwości.

Zastosowania

Twierdzenie wykorzystywane jest w analizie liniowych układów niezależnych od czasu. Pozwala na badanie układu, gdy sygnał wejściowy nie jest całkowalny z kwadratem i nie posiada transformaty Fouriera.