Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda

Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda mówi o sposobie obliczania promienia zbieżności szeregu potęgowego.

Twierdzenie

Mamy szereg potęgowy $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-x_0{)}^n,$ który jest zbieżny na przedziale $(x_0-R,x_0+R).$ Liczbę $R$ nazywamy promieniem zbieżności i obliczamy według wzoru:

$R=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& \lambda =0\\ 0,& \lambda =\mathrm{\infty }\\ \frac{1}{\lambda },& 0<\lambda <\mathrm{\infty }\end{array},$

gdzie $\lambda =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|}.$

Dowód

Niech $x\in ℝ$ oraz $d_x:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n(x-x_0{)}^n|}=\lambda |x-x_0|.$ Z kryterium Cauchy’ego mamy:

1. jeżeli $d_x<1$ to szereg $\sum a_n(x-x_0{)}^n$ jest zbieżny bezwzględnie, czyli $x\in P,$
2. jeżeli $d_x>1$ to szereg $\sum a_n(x-x_0{)}^n$ jest rozbieżny, czyli $x\notin P.$

Zauważamy, że $d_x<1\iff |x-x_0|<\frac{1}{\lambda }$ (o ile wolno dzielić przez $\lambda$).

Jeżeli:

1. $\lambda =0\Rightarrow {\mathrm{\forall }}_{x\in ℝ}$ $d_x=0,$ czyli $d_x<1,x\in P,x\in ℝ,$ stąd $P=ℝ,$
2. $\lambda =\mathrm{\infty }\Rightarrow$ dla $x\ne x_0$ $d_x=\mathrm{\infty },$ czyli $d_x>1,$ stąd $P=\{x_0\},R=0$
3. $0<\lambda <\mathrm{\infty }$ wówczas $d_x<1\iff |x-x_0|<\frac{1}{\lambda }.$ Zatem jeżeli $|x-x_0|<\frac{1}{\lambda }\Rightarrow x\in P$ oraz $|x-x_0|⩽R\Rightarrow \frac{1}{\lambda }⩽R.$ Zakładamy teraz, że $\frac{1}{\lambda }<R.$ Z definicji kresu górnego ${\mathrm{\exists }}_{x_1\in P}|x_1-x_0|>\frac{1}{\lambda }.$ Wtedy jednak $d_x>1,$ co oznacza, że szereg $\sum a_n(x_1-x_0{)}^n$ jest rozbieżny, a to jest sprzeczne z założeniem, iż $x_1\in P.$ Tak więc $R=\frac{1}{\lambda }.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę