Twierdzenie Bretschneidera

Czworokąt ABCD

Twierdzenie Bretschneidera – twierdzenie geometryczne pozwalające obliczyć pole powierzchni dowolnego czworokąta znając jedynie długości jego boków oraz miary jego kątów. Zostało ono udowodnione niezależnie w 1842 roku przez Carla BretschneideraSzablon:OdnSzablon:Odn oraz przez F. StrehlkegoSzablon:OdnSzablon:Odn.

Wypowiedź twierdzenia

Niech dany będzie dowolny czworokąt ABCD o bokach długości $a,$ $b,$ $c$ i $d,$ oraz kątach (kolejno) $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma$ i $\delta .$ Oznaczmy połowę jego obwodu przez

$s=\frac{a+b+c+d}{2}.$

Wtedy pole tego czworokąta wyraża się przezSzablon:Odn

$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}}.$

Dowód twierdzenia

Przypadek, gdy czworokąt ABCD nie jest wypukły.

Na początek zauważmy, że w twierdzeniu nie jest istotne, którą parę przeciwległych kątów – $\alpha$ i $\gamma ,$ czy $\beta$ i $\delta$ – wybierzemy. Zachodzi bowiem

Szablon:Wzór

Oznaczmy pole czworokąta symbolem $S.$ Wtedy

Szablon:Wzór

Zauważmy, że wzór ten działa zarówno, gdy czworokąt ABCD jest wypukły, jak i gdy jest wklęsły: przypuśćmy, że kąt $\gamma$ ma miarę większą od kąta półpełnego. Wtedy wzór Szablon:LinkWzór przyjmuje postać

$S=S_{\mathrm{△}ADB}-S_{\mathrm{△}BDC}.$

Ale pole trójkąta BDC to

$S_{\mathrm{△}BDC}=\frac{1}{2}bc\sin (2\pi -\gamma )=\frac{1}{2}bc\sin (-\gamma )=-\frac{1}{2}bc\sin \gamma ,$

co ostatecznie daje ponownie wzór Szablon:LinkWzór.

Przemnażając wzór Szablon:LinkWzór przez 2 i podnosząc obustronnie do kwadratu, otrzymujemy

Szablon:Wzór

Z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkątów ABD i BCD otrzymujemy

$\begin{array}{cc}|BD{|}^2& =b^2+c^2-2bc\cos \gamma \\ |BD{|}^2& =a^2+d^2-2ad\cos \alpha .\end{array}$

Łącząc powyższe równości otrzymujemy

$a^2+d^2-b^2-c^2=2ad\cos \alpha -2bc\cos \gamma .$

Podnosząc równość do kwadratu i dzieląc przez 4, otrzymujemy:

Szablon:Wzór

Dodając stronami równania Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór oraz korzystając z tożsamości trygonometrycznych (jedynki trygonometrycznej, cosinusa sumy kątów oraz cosinusa podwojonego kąta), otrzymujemy kolejno:

$\begin{array}{cc}4S^2+\frac{1}{4}(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2& =(ad{)}^2{\cos }^2\alpha +(bc{)}^2{\cos }^2-2abcd\cos \alpha \cos \gamma +(ad{)}^2{\sin }^2\alpha +(bc{)}^2{\sin }^2+2abcd\sin \alpha \sin \gamma \\ & =(ad{)}^2+(bc{)}^2-2abcd(\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \sin \gamma )\\ & =(ad{)}^2+(bc{)}^2-2abcd\cos (\alpha +\gamma )\\ & =(ad{)}^2+(bc{)}^2-2abcd\cos (2\cdot \frac{\alpha +\gamma }{2})\\ & =(ad{)}^2+(bc{)}^2-2abcd(2{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)-1)\\ & =(ad+bc{)}^2-4abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right).\end{array}$

Przemnażając obie strony przez 4 i przenosząc jeden ze składników sumy na drugą stronę, równość przyjmuje postać

$16S^2=4(ad+bc{)}^2-(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2-16abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right).$

Zapisując wyrażenie

$4(ad+bc{)}^2-(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2$

jako

$(2ad+2bc{)}^2-(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2$

oraz korzystając z wzorów skróconego mnożenia, otrzymujemy

$\begin{array}{cc}(2ad+2bc{)}^2-(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2& =(2ad+2bc+a^2+d^2-b^2-c^2)(2ad+2bc-a^2-d^2+b^2+c^2)\\ & =((a+d{)}^2-(b-c{)}^2)((b+c{)}^2-(a-d{)}^2)\\ & =(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d).\end{array}$

Wprowadzając połowę obwodu $s$

$s=\frac{a+b+c+d}{2},$

otrzymujemy równość

$16S^2=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd{\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}$

z której, po podzieleniu przez 16 i obustronnym spierwiastkowaniu otrzymujemy wzór Bretschneidera.

Podobne twierdzenia

Twierdzenie Bretschneidera to uogólnienie wzoru Brahmagupty, będącego z kolei uogólnieniem wzoru Herona. Jeśli czworokąt dany jest wpisany w koło, to przeciwległe kąty sumują się do kąta półpełnego i wtedy

$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\frac{\pi }{2}}=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj pismo

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld
• Szablon:Cytuj stronę