Twierdzenie Bernsteina o letargu

Twierdzenie Bernsteina o letargu – twierdzenie teorii aproksymacji udowodnione przez Siergieja Bernsteina mówiące o szybkości zbieżności ciągu przybliżeń.

Sformułowanie

Niech $V_1\subset V_2\subset \dots$ będzie wstępującym ciągiem różnych, skończenie wymiarowych podprzestrzeni liniowych przestrzeni Banacha $X$ nad ciałem $ℝ$ lub $ℂ.$ Wtedy dla dowolnego ciągu ${ϵ}_1\ge {ϵ}_2\ge \dots$ liczb nieujemnych zbieżnego do zera istnieje element $x\in X,$ taki że dla każdego $n$

$dist(x,V_n):=\inf \{\Vert x-v\Vert :v\in V_n\}={ϵ}_n.$

Aproksymacja wielomianami

Zgodnie z twierdzeniem Stone’a-Weierstrassa dowolną funkcję ciągłą można przybliżać wielomianami z dowolną dokładnością. Twierdzenie o letargu mówi, że dokładność tych przybliżeń wraz ze wzrostem stopnia wielomianu przybliżającego może zmieniać się dowolnie wolno. Aby uzyskać szybką zbieżność konieczne jest jakieś założenie o regularności funkcji.

Bibliografia

• W. Pleśniak, Wykłady z teorii aproksymacji, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2000.