Transformata Hilberta

Transformata Hilberta $\hat{g}(t)$ funkcji $g(t)$ oraz transformata do niej odwrotna definiowana jest w następujący sposób:

$\hat{g}(t)=\frac{1}{\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{g(\tau )}{t-\tau }d\tau ,$

$g(t)=-\frac{1}{\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\hat{g}(\tau )}{t-\tau }d\tau .$

Jest to splot funkcji $g(t)$ z funkcją $h(t)=\frac{1}{\pi t}.$

Transformata Fouriera funkcji $h(t)$ wynosi:

$H(\omega )=ℱ\{h\}(\omega )=-j\cdot \mathrm{sgn}(\omega )=\{\begin{array}{cc}+j& \text{dla }\omega <0\\ 0& \text{dla }\omega =0\\ -j& \text{dla }\omega >0\end{array},$

gdzie $j$ oznacza jednostkę urojoną.

Na podstawie zasady, że splotowi funkcji odpowiada mnożenie ich widm (w sensie transformat Fouriera), wynika z tego, że widmo transformaty Hilberta $\hat{s}(t)$ różni się od widma „oryginalnego” sygnału $s(t)$ jedynie tym, że dodatnia połówka ulega wymnożeniu przez $-j,$ a ujemna przez $+j.$ Mnożenie widma przez $\pm j$ oznacza przesunięcie fazy o $\pm$90°, przy zachowaniu niezmienionej amplitudy.

$\hat{G}(\omega )=ℱ\{h\}(\omega )\cdot ℱ\{g\}(\omega )=-j\cdot \mathrm{sgn}(\omega )\cdot G(\omega )=\{\begin{array}{cc}+j\cdot G(\omega )& \text{dla }\omega <0\\ 0& \text{dla }\omega =0\\ -j\cdot G(\omega )& \text{dla }\omega >0\end{array}.$

Właściwości transformaty

1. Transformata jest przekształceniem liniowym.
2. Sygnał $g(t)$ i jego transformata Hilberta mają to samo widmo amplitudowe.
3. Dwukrotnie transformując sygnał $g(t)$ otrzymamy $-g(t).$
4. Sygnał $g(t)$ i jego transformata są ortogonalne.

Wybrane pary transformat Hilberta

Sygnał   $u(t)$	transformata Hilberta   $\hat{u}(t)$
$\sin (t)$	$-\cos (t)$
$\cos (t)$	$\sin (t)$
$\frac{1}{t^2+1}$	$\frac{t}{t^2+1}$
funkcja sinc    $\frac{\sin (t)}{t}$	$\frac{1-\cos (t)}{t}$
sygnał prostokątny    $\sqcap (t)$	$\frac{1}{\pi }\ln \left|\frac{t+\frac{1}{2}}{t-\frac{1}{2}}\right|$
delta Diraca    $\delta (t)$	$\frac{1}{\pi t}$
funkcja charakterystyczna zbioru    ${\chi }_{[a,b]}(x)$	$\frac{1}{\pi }\log \left|\frac{x-a}{x-b}\right|$

Zobacz też

• sygnał analityczny

Linki zewnętrzne

• Szablon:Cytuj stronę