Tożsamość czterech kwadratów Eulera

Tożsamość czterech kwadratów Eulera – tożsamość algebraiczna zachodząca dla dowolnych ośmiu liczb rzeczywistych, z której wynika, że iloczyn dwóch sum czterech kwadratów również jest sumą kwadratów. Dokładniej:

$\begin{array}{cc}& (a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)\\ =& (a_1{b}_1-a_2{b}_2-a_3{b}_3-a_4{b}_4{)}^2\\ +& (a_1{b}_2+a_2{b}_1+a_3{b}_4-a_4{b}_3{)}^2\\ +& (a_1{b}_3-a_2{b}_4+a_3{b}_1+a_4{b}_2{)}^2\\ +& (a_1{b}_4+a_2{b}_3-a_3{b}_2+a_4{b}_1{)}^2.\end{array}$

Tożsamość podał Leonhard Euler w 1748 w liście do Christiana GoldbachaSzablon:OdnSzablon:Odn. Odgrywa ona kluczową rolę w dowodzie twierdzenia Lagrange’a o rozkładach liczb naturalnych.

Jeśli $a_k$ i $b_k$ są liczbami rzeczywistymi, tożsamość wyraża się w inny sposób: moduł iloczynu dwóch kwaternionów równy jest iloczynowi ich modułówSzablon:Odn; podobną równość dla liczb zespolonych ustala tożsamość Brahmagupty.

Tożsamość jest prawdziwa dla $a_1,a_2,a_3,a_4,b_1,b_2,b_3,b_4$ z dowolnego pierścienia przemiennego, gdyż może być udowodniona przy użyciu elementarnej algebry (poprzez rozpisanie nawiasów i zamianę kolejności czynników w iloczynach).

Dla liczb rzeczywistych można ją wywnioskować z następującej tożsamości dla liczb zespolonych (gdyż kwadrat modułu to suma kwadratów części rzeczywistej i urojonej):

$(|u_1{|}^2+|u_2{|}^2)(|v_1{|}^2+|v_2{|}^2)=|u_1{v}_1-u_2\overline{v_2}{|}^2+|u_1{v}_2+u_2\overline{v_1}{|}^2,$

której dowód polega na zastosowaniu tożsamości $|z{|}^2=z\bar{z}$ do wszystkich wyrazów po lewej, zaś tożsamości $|u+v{|}^2=|u{|}^2+|v{|}^2+2Re(u\bar{v})$ do wyrazów po prawej.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-02-02].
• List CXV Eulera do Goldbacha