Test White’a

Test White’a – test pozwalający zbadać, czy wariancja reszt w modelu jest stała, tzn. czy składnik losowy jest homoskedastyczny. Test został zaproponowany przez Halberta White’a w artykule z 1980 roku. Szczególnym przypadkiem testu White’a jest test RESET Ramseya wykorzystywany do testowania poprawności formy funkcyjnej modelu.

Oznaczenia

Rozważamy model postaci

$Y=X\beta +\epsilon ,$

gdzie $Y$ jest wektorem zaobserwowanych wielkości zmiennej objaśnianej, $X=(X_1,\dots ,X_n{)}^T$ jest macierzą wymiaru $n\times K$ zawierającą zaobserwowane wielkości zmiennych objaśniających, zaś $\epsilon =({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n{)}^T$ jest wektorem błędów losowych. Oznaczmy:

• $M_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n𝔼(X_i^T{X}_i),$
• $V_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n𝔼({\epsilon }_i^2{X}_i^T{X}_i),$
• ${\mathrm{\Psi }}_i$ niech będzie wektorem zawierającym elementy z dolnego trójkąta macierzy $X_i^T{X}_i,$
• ${\overline{\mathrm{\Psi }}}_n$ niech będzie wektorem zawierającym elementy z dolnego trójkąta macierzy $M_n,$
• $B_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n𝔼([{\epsilon }_i^2-{\sigma }^2({\epsilon }_i){]}^2({\mathrm{\Psi }}_i-{\overline{\mathrm{\Psi }}}_n{)}^T({\mathrm{\Psi }}_i-{\overline{\mathrm{\Psi }}}_n)).$

Założenia

Zakładamy, że istnieją stałe $\delta ,\mathrm{\Delta }>0,$ takie że:

• $\det M_n,\det V_n,\det B_n>\delta$ dla dostatecznie dużych $n,$
• $𝔼|{\epsilon }^4{|}^{1+\delta }<\mathrm{\Delta }$ dla $i=1,\dots ,n,$
• $𝔼|X_{ij}{X}_{ik}{X}_{il}{X}_{im}{|}^{1+\delta }<\mathrm{\Delta }$ dla $i=1,\dots ,n$ oraz $j,k,l=1,\dots ,K,$
• $\frac{1}{n}\det \sum _{i=1}^n𝔼([{\epsilon }_i^2-{\sigma }^2({\epsilon }_i){]}^2)>\delta$ dla dostatecznie dużych $n.$

Zakładamy ponadto

• $𝔼|{\epsilon }_i{|}^4={\mu }_4$ dla $i=1,\dots ,n$

Testowane hipotezy

Hipoteza zerowa $H_0:$

• składnik losowy $\epsilon$ jest homoskedastyczny,
• zmienne objaśniające są nieskorelowane z zaburzeniem losowym,
• forma funkcyjna modelu jest prawidłowa.

$H_1:$ $H_0$ jest nieprawdziwa

Opis działania

1. Estymujemy wyjściowy model $Y=X\beta +\epsilon$ i zapamiętujemy wektor reszt $\hat{\epsilon }.$
2. Przeprowadzamy regresję liniową zmiennej ${\hat{\epsilon }}^2$ na stałej oraz zmiennych ${\mathrm{\Psi }}_1,\dots ,{\mathrm{\Psi }}_{\frac{K(K+1)}{2}}$ (tzn. na stałej, kwadratach zmiennych objaśniających oraz wszystkich mieszanych iloczynach zmiennych objaśniających), uzyskując współczynnik determinacji $R^2.$ Przy założeniu $H_0$ statystyka $n{R}^2$ ma rozkład ${\chi }_{K(K+1)/2}^2$ (zob. rozkład chi kwadrat).
3. Obliczamy wielkość statystyki $n{R}^2$ i na tej podstawie weryfikujemy hipotezę $H_0$ (zob. weryfikacja hipotez statystycznych).

Bibliografia

• Szablon:Cytuj pismo