Test Kruskala-Wallisa

Test Kruskala-Wallisa – rangowy test statystyczny porównujący rozkłady zmiennej w $k>2$ populacjach. Test nie zakłada normalności rozkładów. Niekiedy uważany jest za nieparametryczną alternatywę dla jednoczynnikowej analizy wariancji pomiędzy grupami.

Hipotezą zerową $H_0$ jest równość dystrybuant rozkładów w porównywanych populacjach.

Danymi wejściowymi jest $n$ -elementowa próba statystyczna podzielona na $k$ rozłącznych grup o licznościach $n_1,n_2,\dots n_k.$ Zakłada się, że każda grupa jest losowana z innej populacji.

Wykonywane jest rangowanie całej próby (połączone wszystkie grupy). Niech $R_{ij}$ oznacza rangę w całej próbie $j$-tego elementu z $i$-tej grupy.

Statystyka testowa Kruskala-Wallisa:

$T=\frac{12}{n(n+1)}\sum _{i=1}^k{n}_i{({\bar{R}}_i-\frac{n+1}{2})}^2,$

gdzie:

${\bar{R}}_i=\frac{1}{n_i}\sum _{j=1}^{n_i}{R}_{ij}.$

Statystyka ta jest miarą odstępstwa średnich próbkowych rang od wartości średniej wszystkich rang, równej $(n+1)/2.$

Dokładne obliczenie rozkładu tej statystyki wymagałoby sprawdzenia wszystkich układów rang. W praktyce, do obliczania p-wartości korzysta się z twierdzenia, mówiącego, że przy (jednocześnie):

• spełnionej hipotezie H₀
• ciągłym rozkładzie cechy w porównywanych populacjach
• minimalnych licznościach grup $n_1,n_2,n_3>5$ dla $k=3$ lub $n_1,n_2,\dots ,n_k>4$ dla $k>3$

zachodzi:

$P\{T⩽t\}\to P\{{\chi }_{k-1}^2⩽t\}$ dla $t\to \mathrm{\infty },$

gdzie ${\chi }_{k-1}^2$ to zmienna o rozkładzie chi-kwadrat z $k-1$ stopniami swobody.

Zobacz też

• test Wilcoxona dla par obserwacji

Bibliografia

• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj