Test Craméra-von Misesa

Test Craméra-von Misesa – jeden z testów statystycznych zgodności rozkładu z zadanym rozkładem wzorcowym lub drugą próbą. Zwykle stosuje się go do sprawdzenia zgodności z rozkładem normalnym. Wynaleziony przez Haralda Craméra i Richarda von Mises, którzy zaproponowali go w latach 1928–1930.

Statystyka Craméra-von Misesa

Wersja dla jednej próby i rozkładu wzorcowego

$W^2=n\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(F_n(x)-F(x){)}^{2}dF(x),$

gdzie:

$F_n(x)$ – dystrybuanta empiryczna,

$F(x)$ – dystrybuanta rozkładu wzorcowego,

$n$ – liczność próby.

Zwykle do obliczeń używany jest prostszy wzór:

$W^2=\frac{1}{12n}+\sum _{i=1}^n{(F(X_{(i)})-\frac{2i-1}{2n})}^2,$

gdzie:

$X_{(i)}$ – $i$-ta zaobserwowana wartość w próbie uporządkowanej rosnąco,

$F(x)$ – dystrybuanta rozkładu wzorcowego,

$n$ – liczność próby.

Wersja dla dwóch prób

Niech $x_1,x_2,\dots ,x_n$ i $y_1,y_2,\dots ,y_m$ będą obserwowanymi wartościami w pierwszej i drugiej próbie posortowane rosnąco. Niech $r_1,r_2,\dots ,r_n$ będą rangami obserwacji $x_i$ w połączonej próbie (X i Y rangowane razem) i niech $s_1,s_2,\dots ,s_m$ będą rangami obserwacji $y_i$ w połączonej próbie.

Wówczas

$W^2=\frac{U}{nm(n+m)}-\frac{4mn-1}{6(m+n)},$

gdzie:

$U=n\sum _{i=1}^n(r_i-i{)}^2+m\sum _{j=1}^m(s_j-j{)}^2.$

Właściwości

Test ma lepsze właściwości niż test Kołmogorowa-Smirnowa, lecz jest stosunkowo nieczuły na odstępstwa od rozkładu w punktach dalekich od średniej („ogony” rozkładu). W celu eliminacji tej wady powstała jego modyfikacja, zwana testem Andersona-Darlinga.

Zobacz też

• test Andersona-Darlinga
• test Kołmogorowa-Smirnowa
• test Shapiro-Wilka

Bibliografia

• pomoc do programu SAS 9.1 autorstwa SAS Institute Inc.
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Anderson: On the Distribution of the Two-Sample Cramer-von Mises Criterion, „Annals Math. Stat.” 33, #3 (1962), s. 1148–1159.
• Xiao, Gordon, Yakovlev: A C++ program for the Cramér-von-Mises two sample test, „Journal of Statistical Software”, 17 #8, styczeń 2007.