Test Andersona-Darlinga

Test Andersona-Darlinga – jeden z testów statystycznych zgodności rozkładu z zadanym rozkładem wzorcowym. Zwykle stosuje się go do sprawdzenia zgodności z rozkładem normalnym. Jest modyfikacją testu Craméra-von Misesa dokonaną w celu poprawy jego czułości w „ogonach” testowanego rozkładu.

Statystyka Andersona-Darlinga

$A^2=n\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{(F_n(x)-F(x){)}^2}{F(x)(1-F(x))}dF(x),$

gdzie:

$F_n(x)$ – dystrybuanta empiryczna,

$F(x)$ – dystrybuanta rozkładu wzorcowego,

$n$ – liczność próby.

Jest to zatem wersja testu Craméra-von Misesa ważona czynnikiem $\frac{1}{F(x)(1-F(x))}.$

Zwykle do obliczeń używany jest prostszy wzór:

$A^2=-n-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n((2i-1)\ln F(X_{(i)})+(2n+1-2i)\ln (1-F(X_{(i)})))$

lub (inna wersja):

$A^2=-n-\sum _{i=1}^n\frac{2i-1}{n}[\ln F(X_{(i)})+\ln (1-F(X_{(n+1-i)}))],$

gdzie:

$X_{(i)}$ – $i$-ta zaobserwowana wartość w próbie uporządkowanej rosnąco,

$F(x)$ – dystrybuanta rozkładu wzorcowego,

$n$ – liczność próby.

Dla rozkładu normalnego stosuje się czasem poprawkę na wielkość próby:

$A^{2\star }=A^2(1+\frac{0,75}{n}+\frac{2,25}{n^2}).$

Dla rozkładu normalnego, gdy $A^{2\star }$ przekracza 0,752, to hipoteza o normalności rozkładu w populacji jest odrzucana na poziomie 5%. Dla innych rozkładów test także może być stosowany, ale ma inne wartości krytyczne.

Zobacz też

• test Craméra-von Misesa
• test Kołmogorowa-Smirnowa
• test Shapiro-Wilka

Bibliografia

• Pomoc do programu SAS 9.1 autorstwa SAS Institute Inc.