Tensor żyracji

Tensor żyracji jest tensorem opisującym drugi moment, który opisuje pozycję zbioru cząstek lub cząstek elementarnych.

$S_{mn}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{r}_m^{(i)}{r}_n^{(i)},$

gdzie $r_m^{(i)}$ jest ${\mathrm{m}}^{\mathrm{t}\mathrm{a}}$ współrzędną kartezjańską wektora pozycyjnego ${𝐫}^{(i)}$ ${\mathrm{i}}^{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{j}}$ cząstki.

Początek układu współrzędnych został dobrany tak aby został spełniony następujący warunek:

$\sum _{i=1}^N{𝐫}^{(i)}=0,$

co oznacza, że system posiada centrum masy $r_{CM},$ zdefiniowane w sposób następujący:

$r_{CM}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{𝐫}^{(i)}.$

W układzie ciągłym tensor żyracji jest zapisywany jako:

$S_{mn}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\int d𝐫\rho (𝐫)r_m{r}_n,$

gdzie $\rho (𝐫)$ reprezentuje gęstość cząstek w zadanym położeniu $𝐫.$

Pomimo że, tensor żyracji oraz tensor momentu bezwładności wyrażone są za pomocą odmiennych jednostek to wykazują one istotne podobieństwo. Kluczową różnicą jest nadanie masy każdej z cząstek opisywanych za pomocą tensora momentu bezwładności podczas gdy wartość tensora żyracji zależy jedynie od położenia cząstek a masa nie odgrywa żadnego znaczenia. Dlatego też w przypadku gdy wszystkie cząstki w opisywanym układzie mają taką samą masę to obydwa tensory są do siebie proporcjonalne.

Diagonalizacja

Ponieważ tensor żyracji stanowi symetryczną macierz kwadratową o rozmiarze 3x3, to kartezjański układ współrzędnych może być wyznaczona w oparciu o część diagonalną macierzy.

$𝐒=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_x^2& 0& 0\\ 0& {\lambda }_y^2& 0\\ 0& 0& {\lambda }_z^2\end{array}\right],$

gdzie osie są dobrane w taki sposób aby elementy diagonalne były uporządkowane w sposób następujący:

${\lambda }_x^2⩽{\lambda }_y^2⩽{\lambda }_z^2.$

Opisane elementy diagonalne są zwyczajowo nazywane „momentami głównymi” tensora żyracji.

Parametry opisujące kształt cząsteczki

Momenty główne tensora żyracji mogą posłużyć do wyrażenia kilku parametrów opisujących rozmieszczenie cząsteczek; podniesiony do kwadratu promień żyracji jest sumą momentów głównych

$R_g^2={\lambda }_x^2+{\lambda }_y^2+{\lambda }_z^2.$

Asferyczność $b$ jest definiowana w sposób następujący:

$b\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\lambda }_z^2-\frac{1}{2}({\lambda }_x^2+{\lambda }_y^2).$

Wielkość ta jest zawsze dodatnia, przyjmuje wartość zerową jedynie gdy wszystkie momenty główne są równe, λ_x = λ_y = λ_z. Jest to osiągane gdy rozmieszczenie cząstek w przestrzeni jest sferyczne (stąd też wywodzi się nazwa tego parametru), lub też gdy rozmieszczenie cząstek jest symetryczne względem wszystkich osi w układzie – przykładowo cząsteczki są rozmieszczone na podobieństwo sześcianu, tetraedru lub innej bryły platońskiej.

W podobny sposób acylindryczność $c$ jest definiowana jako:

$c\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\lambda }_y^2-{\lambda }_x^2.$

Wielkość ta ma zawsze wartość dodatnią, przyjmuje wartość zerową tylko gdy dwa momenty główne są równe, λ_x = λ_y. Warunek ten jest spełniony gdy rozmieszczenie cząstek jest cylindrycznie symetryczne (stąd pochodzi miano parametru). Jednakże w sytuacji, gdy rozmieszczenie cząstek jest symetryczne względem dwóch osi układu współrzędnych acylindryczność także równa się zeru.

Natomiast względna anizotropia kształtu ${\kappa }^2$ jest definiowana jako:

${\kappa }^2\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{b^2+(3/4)c^2}{R_g^4}.$

Parametr ten przyjmuje wartości w zakresie od zera do jeden.

Przypisy

• Szablon:Cytuj książkę Szablon:ISBN.
• Szablon:Cytuj pismo