Stała Catalana

Stała Catalana to stała matematyczna, oznaczana jako K, pojawiająca się w oszacowaniach z dziedziny kombinatoryki. Jej definicja jest następująca:

$K=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\dots$

lub równoważnie

$K=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (t)}{1+t^2}\text{ d}t$

Jej przybliżona wartość to

K = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 ... Szablon:OEIS

Nie jest wiadome czy K jest liczbą wymierną czy niewymierną.

Stała została nazwana na cześć matematyka belgijskiego, Eugène Charlesa Catalana.

Szybko zbieżne formuły do numerycznego obliczania stałej K

$\begin{array}{cc}K& =3\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{4n}}(-\frac{1}{2(8n+2{)}^2}+\frac{1}{2^2(8n+3{)}^2}-\frac{1}{2^3(8n+5{)}^2}+\frac{1}{2^3(8n+6{)}^2}-\frac{1}{2^4(8n+7{)}^2}+\frac{1}{2(8n+1{)}^2})\\ & -2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{12n}}(\frac{1}{2^4(8n+2{)}^2}+\frac{1}{2^6(8n+3{)}^2}-\frac{1}{2^9(8n+5{)}^2}-\frac{1}{2^{10}(8n+6{)}^2}-\frac{1}{2^{12}(8n+7{)}^2}+\frac{1}{2^3(8n+1{)}^2})\end{array}$

oraz

$K=\frac{\pi }{8}\log (\sqrt{3}+2)+\frac{3}{8}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n!{)}^2}{(2n)!(2n+1{)}^2}.$

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld