Sprzężenie izotomiczne

Konstrukcja sprzężenia izotomicznego punktu $P$ trójkąta $\mathrm{\Delta }ABC.$ Na niebiesko zaznaczono proste przechodzące przez wierzchołki oraz punkt $P.$ Punkty $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ są punktami przecięcia tych prostych z odpowiednimi bokami. Punkty $D,E,F$ są środkami boków. Punkty $A^{″},B^{″},C^{″}$ są równoodległe od punktów $D,E,F,$ co punkty $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }.$ Na czerwono zaznaczono proste izotomiczne do prostych niebieskich oraz wspólny punkt ich przecięcia – sprzężenie izotomiczne punktu $P.$

Sprzężenie izotomiczne punktu w trójkącie to inny punkt, określony jednoznacznie poprzez trójkąt oraz położenie punktu wyjściowego punktu.

Definicja i nomenklatura

Niech dany będzie trójkąt $\mathrm{\Delta }ABC$ oraz punkt $P$ wewnątrz niego. Poprowadźmy półproste wychodzące z wierzchołków trójkąta, przecinające przeciwległe boki (tzw. czewiany) i przechodzące poprzez punkt $P.$ Oznaczmy poprzez $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ ich przecięcie z odpowiednimi bokami trójkąta. Odbijmy każdy z punktów $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ poprzez środki odpowiednich boków trójkąta i oznaczmy obrazy tych punktów poprzez $A^{″},B^{″},C^{″}.$ Poprowadźmy teraz proste $A{A}^{″},B{B}^{″},C{C}^{″}.$ Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy, proste te również przetną się w jednym punkcie $P^{\prime }$ (jako że długości odcinków na które punkty $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ oraz $A^{″},B^{″},C^{″}$ dzielą boki są takie same)Szablon:OdnSzablon:Odn. Punkt ten nazywamy sprzężeniem izotomicznym punktu $P$.

Ponadto, proste $A{A}^{″},B{B}^{″},C{C}^{″}$ nazywane są prostymi izotomicznymiSzablon:Odn do prostych $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime },$ a punkty $A^{″},B^{″},C^{″}$ punktami izotomicznymi do punktów $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$Szablon:Odn.

Współrzędne

Jeśli oznaczmy długości boków trójkąta poprzez $a,b,c,$ a współrzędne trójliniowe punktu $P$ poprzez $p:q:r,$ to współrzędne sprzężenia izotomicznego punktu $P$ wynoszą

$a^{-2}{p}^{-1}:b^{-2}{q}^{-1}:c^{-2}{r}^{-1}.$

Punkty o współrzędnych barycentrycznych $(x,y,z)$ oraz $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ są sprzężone izotomicznie, gdy zachodziSzablon:OdnSzablon:Odn

$x{x}^{\prime }=y{y}^{\prime }=z{z}^{\prime }.$

Własności

Z definicji, jeśli $P^{\prime }$ jest sprzężeniem izotomicznym punktu $P,$ to sprzężeniem punktu $P^{\prime }$ będzie sam punkt $P.$

Sprzężeniem izotomicznym centroidu trójkąta (przecięcia wszystkich środkowych) jest z definicji sam centroidSzablon:Odn.

Poniższe pary punktów są względem siebie sprzężone izotomicznie:

• punktu Nagela oraz punkt Gergonne'aSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn,
• trzeci punkt Brocarda i punkt przecięcia symedian (zwany punktem Lemoine’a)Szablon:Odn,
• ortocentrum trójkąta i punkt przecięcia symedian jego trójkąta antydopełniającegoSzablon:Odn.

Zobacz też

• sprzężenie izogonalne

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę