Splot (teoria grup)

Szablon:Inne znaczenia Szablon:Spis treści Splot lub produkt splotowy – szczególny rodzaj produktu grup opartego na produkcie półprostym. Splot jest ważnym narzędziem ułatwiającym klasyfikację grup permutacji i konstrukcję interesujących przykładów grup.

Konstrukcja

Niech $H$ i $K$ będą grupami działającymi odpowiednio na zbiorach $X$ oraz $Y.$ Dla $h\in H,y\in Y$ oraz $k\in K$ definiuje się następujące permutacje $h_{\mathrm{y}}$ oraz $k^{\star }$ zbioru $Z=X\times Y:$

$h_{\mathrm{y}}:\{\begin{array}{c}(\mathrm{x},\mathrm{y})\mapsto (h\cdot \mathrm{x},\mathrm{y}),\\ (\mathrm{x},\hat{\mathrm{y}})\mapsto (\mathrm{x},\hat{\mathrm{y}})\text{ dla }\hat{\mathrm{y}}\ne \mathrm{y}\end{array}$

oraz

$k^{\star }:(\mathrm{x},\mathrm{y})\mapsto (\mathrm{x},k\cdot \mathrm{y}).$

Ponieważ ${\left(h^{-1}\right)}_{\mathrm{y}}={\left(h_{\mathrm{y}}\right)}^{-1}$ oraz ${\left(k^{-1}\right)}^{\star }={\left(k^{\star }\right)}^{-1},$ to $h_{\mathrm{y}}$ oraz $k^{\star }$ istotnie są permutacjami, przez co są dobrze określone. Funkcje $h\mapsto h_{\mathrm{y}}$ przy ustalonym $\mathrm{y}\in Y$ oraz $k\mapsto k^{\star }$ są monomorfizmami odpowiednio grup $H$ oraz $K$ w grupę $\mathrm{Sym}(Z)$ o obrazach odpowiednio $H_{\mathrm{y}}$ oraz $K^{\star }.$

Splotem lub produktem splotowym grup $H$ oraz $K$ nazywa się grupę permutacji na $Z$ generowaną przez $K^{\star }$ i grupy $H_{\mathrm{y}}$ dla wszystkich $\mathrm{y}\in Y.$ W zapisie symbolicznym

$H\wr K=⟨H_{\mathrm{y}},K^{\star }:\mathrm{y}\in Y⟩.$

Ponieważ $k^{\star }{h}_{\mathrm{y}}{\left(k^{\star }\right)}^{-1}$ przekształca $(\mathrm{x},k\cdot \mathrm{y})$ w element $(h\cdot \mathrm{x},k\cdot \mathrm{y})$ i nie porusza $(\hat{\mathrm{x}},\hat{\mathrm{y}}),$ o ile $\hat{\mathrm{y}}\ne k\cdot \mathrm{y},$ to z definicji jest

Szablon:Wzór

Ponadto jeśli $\mathrm{y}\ne \hat{\mathrm{y}},$ to permutacje $h_{\mathrm{y}}$ i $h_{\hat{\mathrm{y}}}$ nie mogą poruszyć tego samego elementu $Z.$ Wynika stąd, że grupy $H_{\mathrm{y}}$ generują swój iloczyn prosty $B$ nazywany zwykle nośnikiem (ang. base group) splotu:

$B=\underset{\mathrm{y}\in Y}{⨁}{H}_{\mathrm{y}}.$

Zgodnie z Szablon:LinkWzór sprzężenie elementem $k^{\star }\in K^{\star }$ permutuje składniki proste $H_{\mathrm{y}}$ dokładnie w ten sam sposób, co $k$ elementy $Y.$ Skoro elementy $K^{\star }$ oraz $B$ nie mogą poruszać tego samego elementu $Z,$ to grupa $K^{\star }\cap B$ musi być trywialna. Ponieważ $B◃W$ oraz $W=K^{\star }B,$ to $W$ jest iloczynem półprostym $B$ przez $K^{\star },$ w którym automorfizm $B$ wyznaczany przez element $K^{\star }$ zadany jest wzorem Szablon:LinkWzór. Dla uproszczenia notacji utożsamia się zwykle element $k^{\star }$ z elementem $k,$ czyli przyjmuje $K=K^{\star }.$

Własności

• Jeśli $H$ oraz $K$ działają w sposób przechodni, to również $H\wr K$ działa w ten sposób.
• Niech $L$ będzie grupą permutacji zbioru $U,$ zaś $f:(X\times Y)\times U\to X\times (Y\times U)$ będzie bijekcją odwzorowującą $((\mathrm{x},\mathrm{y}),\mathrm{u})\mapsto (\mathrm{x},(\mathrm{y},\mathrm{u})),$ a $\phi$ funkcją $g\mapsto f(g\cdot f^{-1}),$ tzn. dla dowolnego $\mathrm{y}\in Y$ zachodzi $g\cdot \mathrm{y}\mapsto f(g\cdot f^{-1}(\mathrm{y})).$ Wówczas $(\phi ,f)$ ustanawia podobieństwo $(H\wr K)\wr L$ oraz $H\wr (K\wr L).$ Innymi słowy splot jest działaniem łącznym względem podobieństwa grup.

Uogólnienia

Niech $N$ oraz $G$ będą dowolnymi grupami. Niech dla każdego $x\in G$ symbol $N_x$ oznacza grupę izomorficzną z $N$ poprzez przekształcenie $a\mapsto a_x.$ Niech

$B=\prod _{x\in G}{N}_x$

będzie iloczynem kartezjańskim, zaś dla $b\in B$ oraz $g\in G$ niech działanie $g\cdot b$ dane będzie wzorem

$(g\cdot b{)}_x=b_{g^{-1}x}.$

Powyższe działanie $G$ na $B$ zadaje iloczyn półprosty $W=G⋉B,$ który nazywa się standardowym zupełnym splotem $N\overline{\wr }B,$ przy czym $B$ nazywa się nośnikiem (ang. base group).

Linki zewnętrzne

• Konstrukcja na PlanetMath
• Konstrukcja na Springer Online