Falki

Szablon:Inne znaczenia Szablon:Dopracować Falki (Szablon:Ang.) – rodziny funkcji zbioru liczb rzeczywistych w zbiorze liczb rzeczywistych, z których każda jest wyprowadzona z funkcji-matki (z tzw. funkcji macierzystej) za pomocą przesunięcia i skalowania:

${\psi }_{j,k}(t)=\psi (2^j\cdot t+k),$

gdzie:

$j,k$ – liczby całkowite,

$\psi$ – funkcja-matka,

${\psi }_{j,k}$ – falka o skali $j$ i przesunięciu $k$ (zwana też funkcją falkową).

Funkcje te dążą do zera (lub po prostu wynoszą zero poza pewnym przedziałem) dla argumentu dążącego do nieskończoności, zaś ich suma ważona umożliwia przedstawienie z dowolną dokładnością dowolnej funkcji ciągłej całkowalnej z kwadratem, podobnie jak funkcje cosinus o różnych okresach i przesunięciach umożliwiają przedstawienie z dowolną dokładnością każdej całkowalnej funkcji okresowej (zob. transformata Fouriera).

$f(t)=\sum _{j,k\in \mathbb{Z}}{2}^j⟨f,{\psi }_{j,k}⟩\cdot {\psi }_{j,k}(t)\mathrm{\forall }f\in L^2(ℝ,ℝ).$

Falki są używane w analizie i przetwarzaniu sygnałów cyfrowych, w kompresji obrazu i dźwięku, do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych oraz w wielu innych dziedzinach. Najprostsze z nich to falki Haara.

Funkcja skalująca $\varphi$ i falka $\psi$	Amplitudy spektrum częstotliwościowego
Plik:Daubechies4-functions.png	Błąd przy generowaniu miniatury:
Plik:Daubechies12-functions.png	Plik:Daubechies12-spectrum.png
Plik:Daubechies20-functions.png	Plik:Daubechies20-spectrum.png

Zobacz też

• kompresja falkowa
• transformacja falkowa

Bibliografia

• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj książkę

• Przetwarzanie sygnałów cyfrowych – Zastosowanie falek (materiały dydaktyczne AGH)