Sieć (geometria)

Siecią $𝒮=(P,L^1,L^2,L^3)$ nazywa się układ czterech zbiorów: $P,$ $L^1,$ $L^2,$ $L^3,$ w których:

• elementy zbioru $P$ nazywa się punktami,
• elementy zbiorów $L^1,$ $L^2,$ $L^3$ nazywa się krzywymi (a same zbiory rodzinami krzywych),
• między punktami i krzywymi określona jest relacja incydencji wyrażana zwrotami: punkt leży na krzywej, krzywa przechodzi przez punkt,
• przez każdy punkt zbioru $P$ przechodzi dokładnie jedna krzywa każdej rodziny krzywych,
• dwie proste należące do różnych rodzin krzywych przecinają się w dokładnie jednym punkcie zbioru $P$.

Sieci na płaszczyźnie

Jeśli punkty są punktami płaszczyzny, a krzywe są krzywymi na płaszczyźnie, to rodziny krzywych $L^1$ i $L^2$ mogą być przekształcone przy pomocy homeomorfizmu płaszczyzny na rodziny sieci prostych równoległych do osi układu współrzędnych, czyli z dokładnością do deformacji homeomorficznej tworzą sieć współrzędnych na płaszczyźnie. Wtedy krzywe trzeciej rodziny $L^3$ są poziomicami pewnej funkcji $z=f(x,y)$.

Przykłady

Punktami sieci regularnej są punkty płaszczyzny. Każda z prostych: $a,$ $b$ i $c$ (proste zielone) generuje rodzinę prostych do niej równoległych, jedną z rodzin sieci. Związaną z tą siecią quasi-grupą jest zbiór punktów prostej różowej z odpowiednio zdefiniowanym mnożeniem.

• Najprostszą siecią jest sieć regularna, w której zbiór $P$ jest zbiorem punktów płaszczyzny, a rodziny prostych są zbiorami prostych równoległych do każdej z osi współrzędnych na płaszczyźnie oraz pewnej prostej pochyłej do obu osi.
• Sieci związane są z quasi-grupami – jednym z rodzajów algebr uniwersalnych. Każdej quasi-grupie odpowiada pewna sieć i na odwrót, każdej sieci odpowiada pewna quasi-grupa, nazywana quasi-grupą współrzędnych sieci. Mnożenie punktów $D$ i $E$ w quasi-grupie składającej się z punktów prostej różowej (na rysunku) jest zdefiniowane następująco (patrz rysunek):
  • przez punkty $D$ i $E$ prowadzi się proste równoległe odpowiednio do prostych $a$ i $b,$ które przecinają się w punkcie $G.$
  • przez punkt $G$ prowadzi się prostą równoległą do prostej $c,$ która przecina prostą różową w punkcie $F.$ Punkt $F$ jest iloczynem punktów $D$ i $E.$
• Każdej quasi-grupie można przyporządkować pewną sieć $S.$ Niech $G$ będzie quasi-grupą. Wtedy:
  • punktami sieci są pary uporządkowane $(a,b)$ elementów zbioru $G,$
  • rodzinami prostych są zbiory symboli $L^i=\{l_a^i:a\in G\}$ dla i = 1, 2, 3,
  • punkt $(a,b)$ należy do symboli $l_a^1,l_b^2,l_{ab}^3;$ zatem przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna prosta każdej rodziny,
  • proste $l_a^1,l_b^2$ przecinają się w punkcie $(a,b);$ proste $l_a^1,l_c^3$ przecinają się w punkcie $(a,c\mathrm{\setminus }a);$ proste $l_b^2,l_c^3$ przecinają się w punkcie $(c/b,b)$.

Wtedy quasi-grupa $G$ jest quasi-grupą współrzędnych sieci $S.$