Quasi-grupa współrzędnych sieci

Szablon:Spis treści Quasi-grupa $Q$ jest quasi-grupą współrzędnych sieci $𝒮=(P,L^1,L^2,L^3),$ jeśli:

• zbiór $Q$ jest równoliczny z każdym ze zbiorów $L^1,$ $L^2$ i $L^3,$
• ustalone są trzy funkcje różnowartościowe $l^i:Q\to L^i,$ $l^i(Q)=L^i;$ zapisuje się je jako indeksacje $l^i(q)=l_q^i=$ dla $q\in G,$
• $ab=c$ wtedy i tylko wtedy, gdy przez punkt przecięcia krzywych $l_a^1\in L^1,l_b^2\in L^2$ przechodzi krzywa $l_c^3\in L^3$.

Krzywą $l_q^i$ oznacza się także za pomocą pary uporządkowanej $(i,q)$.

Konstrukcja sieci dla danej quasi-grupy

Dla danej quasi-grupy $Q$ punkty zbioru $P$ można utożsamić ze zbiorem par uporządkowanych $(a,b):a,b\in Q,$ a krzywe $L^i$ ze zbiorami $L^i=\{(i,a):a\in Q$ dla $i=1,2,3.$ Incydencję definiuje się wtedy następująco: punkt $(a,b)$ jest incydentny z krzywymi (liniami): $(1,a),$ $(2,b)$ i $(3,ab).$ Quasi-grupa $Q$ jest wtedy quasi-grupą współrzędnych sieci $𝒮=(P,L^1,L^2,L^3)$.

Własności

• Quasi-grupa współrzędnych sieci $𝒮$ zależy od wybranych indeksacji prostych każdej rodziny. Jeśli zmieni się indeksację (stosując dla każdej rodziny permutację zbioru $Q$), to w wyniku uzyska się różne quasi-grupy.
• Przy odpowiedniej zmianie indeksacji krzywych sieci jej quasi-grupa współrzędnych jest pętlą.
• Dwie quasi-grupy współrzędnych tej samej sieci są izotopijne.
• Wszystkie quasi-grupy współrzędnych danej sieci o quasi-grupie $G$ są z dokładnością do izomorfizmu klasą wszystkich izotopijnych quasi-grup określonych na zbiorze $G$.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę