Rozkład próbkowania

Rozkład próbkowania, rozkład z próby – pojęcie z obszaru statystyki oznaczające rozkład prawdopodobieństwa określonej statystyki, czyli liczby podsumowującej próbę losową pobraną z danej populacji. Gdy do obliczenia statystyki (takiej jak na przykład średnia z próby lub wariancja w próbie) użyje się wielu $n$-elementowych prób losowych, wówczas rozkład próbkowania opisuje prawdopodobieństwa wartości przyjmowanych przez statystykę. Zwykle w praktyce pobiera się tylko jedną próbę, zaś rozkład próbkowania dla statystyki obliczanej z tej próby możemy określić teoretycznie.

Rozkłady próbkowania odgrywają istotną rolę w statystyce, ponieważ upraszaczają wnioskowanie statystyczne.

Wstęp

Rozkład próbkowania statystyki to rozkład tej statystyki, traktowanej jako zmienna losowa, wyprowadzonej z losowej próby o określonej wielkości $n$. Można go uważać za rozkład statystyki dla wszystkich możliwych próbek o liczebności $n$ z tej samej populacji. Rozkład próbkowania zależy rozkładu w populacji, rozpatrywanej statystyki, zastosowanej procedury pobierania próbek oraz wybranej liczebności próby $n$.

Jako przykład rozważmy populację, w której cecha ma rozkład normalny ze średnią $\mu$ i wariancją ${\sigma }^2$. Załóżmy, że wielokrotnie pobieramy próbki o danej wielkości z tej populacji i obliczamy średnią arytmetyczną $\overline{x}$ dla każdej próbki – statystykę tę nazywa się średnią w próbie, średnią z próby lub średnią próbkową. Rozkład tych średnich nazywany jest „rozkładem próbkowania średniej z próby”. Rozkład próbkowania jest w tym przypadku normalny z wartością oczekiwaną $\mu$ i odchyleniem standardowym $\sigma /\sqrt{n}$, gdzie n to wielkość próby. Rozkłady próbkowania średniej z próby mogą często być bliskie rozkładowi normalnemu, nawet jeśli rozkład w populacji taki nie jest (patrz centralne twierdzenie graniczne).

Średnia w próbie pobranej z populacji o rozkładzie normalnym jest przykładem prostej statystyki pobranej z jednej z najprostszych populacji statystycznych. W przypadku innych statystyk i populacji rozkłady próbkowania są bardziej skomplikowane i często nie mają wzoru jawnego. W takich przypadkach rozkłady próbkowania można aproksymować za pomocą symulacji Monte Carlo, metod bootstrapowych lub wykorzystywać rozkłady asymptotyczne.

Błąd standardowy

Odchylenie standardowe rozkładu próbkowania statystyki z próby nazywa się błędem standardowym tej statystyki. Na przykład gdy statystyką jest średnia w prostej próbie losowej, błąd standardowy wynosi: $${\sigma }_{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$ gdzie $\sigma$ to odchylenie standardowe w rozkładzie cechy w populacji, a $n$ to liczebność próby (liczba jednostek w próbie).

Ważną konsekwencją tego wzoru jest to, że wielkość próby $n$ musi zostać zwiększona czterokrotnie (pomnożona przez 4), aby dwukrotnie zredukować błąd pomiaru. Podczas projektowania badań statystycznych, w których koszt jest czynnikiem, może to mieć znaczenie dla zrozumienia relacji między kosztami a korzyściami.

W przypadku, gdy statystyką jest suma wartości obserwacji w prostej próbie losowej, błąd standardowy wynosi: $${\sigma }_{\mathrm{\Sigma }x}=\sigma \sqrt{n}$$

Przykłady

Rozkład próbkowania średniej z próby liczb wylosowanych z rozkładu normalnego. Wraz ze wzrostem liczebności próby rozkład próby staje się coraz bardziej skupiony wokół centrum.

Populacja	Statystyka	Rozkład próbkowania
Rozkład normalny: $𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$	Średnia $\overline{X}$ z próby o wielkości n	$\overline{X}\sim 𝒩(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$. Jeżeli odchylenie standardowe w populacji $\sigma$ nie jest znane, można skorzystać ze statystyki $T=(\overline{X}-\mu )\frac{\sqrt{n}}{S}$, mającej rozkład t Studenta z $\nu =n-1$ stopniami swobody. $S^2$ to wariancja w próbie, zaś $T$ to statystyka bazowa, której wartość nie zależy od $\sigma$.
Rozkład zero-jedynkowy z parametrem $p$.	Częstość „sukcesów” (proporcja w próbie): $\overline{X}$	$n\overline{X}\sim \mathrm{Dwumianowy}(n,p)$
Dwie niezależne populacje o rozkładzie normalnym: $𝒩({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$  i  $𝒩({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$	Różnica pomiędzy średnimi w próbach: ${\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2$	${\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2\sim 𝒩({\mu }_1-{\mu }_2,\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2})$
Dowolny bezwzględnie ciągły rozkład F z funkcją gęstości f	Mediana $X_{(k)}$ z próby o liczebności n = 2k − 1, gdzie próba jest uporządkowana od $X_{(1)}$ do $X_{(n)}$	$f_{X_{(k)}}(x)=\frac{(2k-1)!}{(k-1){!}^2}f(x)(F(x)(1-F(x)){)}^{k-1}$
Dowolny rozkład z dystrybuantą F	Maksimum $M=\max X_k$ w próbce o liczebności n	$F_M(x)=P(M\le x)=\prod P(X_k\le x)={(F(x))}^n$

Linki zewnętrzne

• Demonstracja programu Mathematica pokazująca rozkład próbkowania różnych statystyk (np. Σ x ²) dla populacji normalnej