Relacja trychotomiczna

Relacja trychotomiczna – antysymetryczna, spójna i przeciwzwrotna relacja binarna. Jej przykładem jest porządek liczb rzeczywistych.

Definicja

Niech $X$ będzie zbiorem. Relację $ℛ\subseteq X\times X$ nazywamy relacją trychotomiczną wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona:

• antysymetryczna:

$\mathrm{\forall }x,y\in X:(xℛy\wedge yℛx)\Rightarrow x=y,$

• spójna:

$\mathrm{\forall }x,y\in X:xℛy\vee yℛx\vee x=y,$

• przeciwzwrotna:

$\mathrm{\forall }x\in X:\mathrm{\neg }xℛx.$

Równoważnie, relacja $ℛ$ jest trychotomiczna wtedy i tylko wtedy, gdy:

$\mathrm{\forall }x,y\in X:(xℛy\wedge \mathrm{\neg }yℛx\wedge \mathrm{\neg }x=y)\vee (\mathrm{\neg }xℛy\wedge yℛx\wedge \mathrm{\neg }x=y)\vee (\mathrm{\neg }xℛy\wedge \mathrm{\neg }yℛx\wedge x=y).$

Relacja $ℛ$ jest trychotomiczna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x,y\in X$ zachodzi dokładnie jeden z warunków: $xℛy$ albo $yℛx$ albo $x=y.$

Przykłady

• Relację ostrego porządku definiuje się jako relację przechodnią, przeciwzwrotną i spójną (w myśl powyższej definicji spójności, która nie implikuje zwrotności). Przechodniość i przeciwzwrotność implikują antysymetryczność, stąd relację ostrego porządku można równoważnie zdefiniować jako relację przechodnią i trychotomiczną.

Zobacz też

• porządek liniowy