Rekurencyjna metoda NK

Wstęp i oznaczenia

Algorytm ważonej rekurencyjnej metody najmniejszych kwadratów (WRMNK) został wyprowadzony dla obiektu typu ARX, którego postać przytacza się dla wygody:

$y(i)=z^{-k}\frac{B(z^{-1})}{A(z^{-1})}u(i)+\frac{1}{A(z^{-1})}e(i).$

Zakłada się, że znany jest ciąg wejść obiektu $u(1),u(2),\dots$ oraz ciąg wyjść obiektu $y(1),y(2),\dots ,$ natomiast sekwencja białego szumu, modelującego zakłócenie sprowadzone na wyjście obiektu $e(1),e(2),\dots ,$ jest nieznana.

Niech $\mathrm{\Theta }$ oznacza wektor nieznanych parametrów obiektu:

$\mathrm{\Theta }={[b_0{b}_1\dots b_{dB}{a}_1{a}_2\dots a_{dA}]}^T.$

Niech $\hat{\mathrm{\Theta }}(i)$ oznacza wektor zawierający oszacowania (estymaty) tych parametrów w chwili $i,$ oraz niech $\mathit{\phi }(i-1)$ oznacza wektor zawierający próbki wejść i wyjść odpowiadające tym parametrom (zwany wektorem regresyjnym):

$\begin{array}{cc}\mathit{\phi }(i-1)=& [u(i-k)u(i-k-1)\dots u(i-k-dB)\\ & {-y(i-1)-y(i-2)\dots -y(i-dA)]}^T\end{array}$

Niech ponadto wskaźnik jakości będzie dany jako:

$J_N(\hat{\mathrm{\Theta }})=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{\lambda }^{N-i}{\epsilon }^2(i)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{\lambda }^{N-i}{(y(i)-{\hat{\mathrm{\Theta }}}^T(i-1)\mathit{\phi }(i-1))}^2,$

gdzie $\lambda \in (0,1]$ zwany jest współczynnikiem ważenia lub zapominania, a $\epsilon (i)$ zwany jest błędem predykcji jednokrokowej.

Algorytm WRMNK

Algorytmem, który minimalizuje tak zdefiniowany wskaźnik jakości, jest algorytm ważonej rekurencyjnej metody najmniejszych kwadratów, dany wzorem:

$\hat{\mathrm{\Theta }}(i)=\hat{\mathrm{\Theta }}(i-1)+𝐤(i)\epsilon (i),$

gdzie $𝐤(i)$ zwany jest wektorem wzmocnienia i liczony jest zgodnie z zależnością:

$𝐤(i)=𝐏(i)\cdot \mathit{\phi }(i-1).$

Użyta w powyższym wzorze macierz $𝐏(i)$ zwana jest macierzą kowariancji. Podstawową zależnością pozwalającą na rekurencyjne wyznaczania tej macierzy jest równanie:

${𝐏}^{-1}(i)=\lambda {𝐏}^{-1}(i-1)+\mathit{\phi }(i-1){\mathit{\phi }}^T(i-1).$

Ponieważ jednak zastosowanie powyższego wzoru wiązałoby się z koniecznością odwracania macierzy, algorytm byłby niezwykle skomplikowany w implementacji i potencjalnie niestabilny numerycznie. Na szczęście udało się wyprowadzić zależność rekurencyjną pozwalającą na aktualizację macierzy kowariancji z pominięciem odwracania macierzy, która jest dana zależnością:

$𝐏(i)=\frac{1}{\lambda }[𝐏(i-1)-\frac{𝐏(i-1)\mathit{\phi }(i-1){\mathit{\phi }}^T(i-1)𝐏(i-1)}{\lambda +{\mathit{\phi }}^T(i-1)𝐏(i-1)\mathit{\phi }(i-1)}]$

Warunek początkowy

Warunek początkowy dla macierzy kowariancji dany jest wzorem:

$𝐏(0)=\beta 𝐈,$

gdzie $\beta$ jest pewną, dużą wartością dodatnią (np. 1000).

Zobacz też

• metoda najmniejszych kwadratów

Uwagi

W przypadku, gdy $\lambda =1$ o metodzie mówi się, że jest bez ważenia (czyli jest to RMNK). Tak sparametryzowana metoda nie nadaje się do identyfikacji obiektów niestacjonarnych (czyli takich, których parametry zmieniają się w czasie), gdyż w macierzy $𝐏$ pamiętana jest cała historia zmian wejścia i wyjścia obiektu. W przypadku identyfikacji obiektów niestacjonarnych zazwyczaj wartość parametru $\lambda$ ustala się na nieco mniejszą od jedności (na przykład 0,99).

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę