Równanie transportu

Równanie transportu – równanie różniczkowe cząstkowe postaci (1):

$u_t+\sum _{i=1}^n{b}_i{u}_{x_i}=0,$

gdzie $b_i\in ℝ,$ a funkcja $u:{ℝ}^n\times [0,\mathrm{\infty }]\to ℝ$ jest niewiadomą.

Przy założeniu, że dysponujemy gładkim rozwiązaniem $u$ oraz po podzieleniu lewej strony (1) przez $1+\sum _{i=1}^n{b}_i$ stwierdzamy, że równanie to orzeka, że pewna pochodna kierunkowa funkcji $u$ jest równa zeru.

Niech $b=(b_1,b_2,...,b_n)\in {ℝ}^n$ będzie wektorem. Ustalmy zatem dowolny punkt $(x_0,t_0)\in {ℝ}^n\times (0,\mathrm{\infty })$ i połóżmy:

$z(s)=u(x_0+sb,t_0+s)$

przy założeniu $(s\in ℝ)$ i przy oznaczeniu $sb=s\sum _{i=1}^n{b}_i.$

Wtedy prawdziwym jest związek:

$\frac{dz}{ds}=\sum _{i=1}^n{b}_i{u}_{x_i}(x_0+sb,t_0+s)+u_t(x_0+sb,t_0+s)=0$

na mocy (1). Funkcja $z$ zmiennej $s$ jest więc stała, co oznacza, że dla każdego punktu $(x_0,t_0)$ funkcja $u$ przyjmuje te same wartości na całej prostej przechodzącej przez ten punkt oraz równoległej do wektora $(b_1,b_2,...,b_n,1)\in {ℝ}^{n+1}.$ Wartości szukanej funkcji w całej dziedzinie są zatem znane, jeżeli znane są wartości w jakichkolwiek punktach na każdej z takich prostych.

W wypadku zagadnienia początkowego (2):

$u_t+\sum _{i=1}^n{b}_i{u}_{x_i}=0$ przy $u=g$ na ${ℝ}^n\times \{t=0\}$

każda z omawianych wcześniej prostych postaci $(x_0+sb,t_0+s)$ przecina płaszczyznę $\gamma ={ℝ}^n\times \{t=0\}$ dla $s=-t_0$ w punkcie $(x_0-t_{0}b,0).$ Ponieważ funkcja $u$ jest na tych prostych stała oraz $u(x_0-t_{0}b,0)=g(x_0-t_{0}b)$ to wnioskujemy:

$u(x_1,...,x_n,t)=u(x,t)=g(x-tb)$ przy $x\in {ℝ}^n,t⩾0$

i jest to słabe rozwiązanie zagadnienia (2).

Równanie niejednorodne

Dla zagadnienia (3) $u_t+\sum _{i=1}^n{b}_i{u}_{x_i}=f$ przy $u=g$ i tych samych oznaczeniach jak wyżej, kładziemy $z(s),$ uzyskując:

$\frac{dz}{ds}=\sum _{i=1}^n{b}_i{u}_{x_i}(x_0+sb,t_0+s)+u_t(x_0+sb,t_0+s)=f(x_0+sb,t_0+s)$

i dalej:

$u(x_0,t_0)-g(x_0-b{t}_0)=z(0)-z(-t_0)=\underset{-t_0}{\overset{0}{\int }}\frac{dz}{ds}ds=\underset{-t_0}{\overset{0}{\int }}f(x_0+sb,t_0+s)ds,$

zatem $u(x,t)=g(x-tb)+\underset{-t_0}{\overset{0}{\int }}f(x_0+sb,t_0+s)ds$ przy $x\in {ℝ}^n,t⩾0$ jest rozwiązaniem równania (3).

Bibliografia

• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2010.