Równanie Gibbsa-Duhema

Równanie Gibbsa-Duhema – jedna z tożsamości termodynamicznych.

Załóżmy, że układ składa się z k-faz oraz s-substancji. Wtedy równanie Gibbsa-Duhema można zapisać w postaci:

Szablon:Wzór

gdzie:

$S^k$ – entropia $k$-tej fazy,

$T^k$ – temperatura $k$-tej fazy,

$V^k$ – objętość $k$-tej fazy,

$p^k$ – ciśnienie $k$-tej fazy,

$N_i^k$ – ilość cząstek i-tej substancji w $k$-tej fazie,

${\mu }_i$ – potencjał chemiczny substancji wchodzącej w skład układu.

W równaniu Gibbsa-Duhema uwzględniamy, że dana faza „$k$” może się składać z „$s$” substancji. Stąd w ostatnim członie występuje sumowanie po wszystkich substancjach wchodzący w skład rozważanej fazy.

We wzorze Szablon:LinkWzór wskaźnik „$k$” na górze oznacza numer fazy, a dolny wskaźnik to numer substancji.

Dowód poprawności równania Gibbsa-Duhema

Potencjał Gibbsa dla $k$-tej przy jego energii wewnętrznej $U^k,$ ciśnieniu $p^k,$ objetości $V^k,$ temperaturze $T^k$ i entropii $S^k$ zapisujemy jako:

Szablon:Wzór

Różniczce wyrażenia Szablon:LinkWzór wykorzystamy wzór wynikający z pierwszej zasady termodynamiki, czyli

Szablon:Wzór

Równanie Szablon:LinkWzór przepisujemy w postaci:

Szablon:Wzór

W stanie równowagi termodynamicznej występuje stała temperatura, ciśnienie w rozważanym układzie, zatem potencjał Gibbsa jest:

Szablon:Wzór

Różniczka wielkości Szablon:LinkWzór przepisujemy z definicji różniczki iloczynu:

Szablon:Wzór

Łącząc równanie Szablon:LinkWzór z Szablon:LinkWzór, co otrzymujemy:

Szablon:Wzór

W równaniu Szablon:LinkWzór, po krótkich redukowaniu wyrazów jednego wyrazu z prawej z wyrażeniem z lewej strony naszego równania, wtedy dochodzimy do wniosku:

Szablon:Wzór

Dla tej samej substancji w różnych fazach potencjały chemiczne są jednakowe, wykorzystując tę wiadomość, mamy:

Szablon:Wzór

Co kończy dowód.

Zobacz też

• Pierre Duhem
• Josiah Willard Gibbs