Równania Friedmana

Szablon:Dopracować Równania Friedmana – podstawowe równania kosmologii relatywistycznej. Określają one ewolucję wszechświata przy założeniu jego przestrzennej jednorodności i izotropowości (braku wyróżnionego miejsca i kierunku). Zostały po raz pierwszy wyprowadzone przez rosyjskiego uczonego Aleksandra Friedmana w 1922 roku z równań pola Einsteina dla płynu o danym ciśnieniu $p$ i gęstości $\rho$ z metryką zwaną obecnie metryką Friedmana-Lemaître’a-Robertsona-Walkera.

Postać równań

Istnieją dwa niezależne równania Friedmana. Pierwsze z nich określa zmiany pierwszej pochodnej czynnika skali $a$ w zależności od czasu kosmicznego $t:$

$H^2\equiv {\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}+\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^2}{3},$

gdzie:

$H$ to parametr Hubble’a,

$G$ – newtonowska stała grawitacji,

$k$ – krzywizna przestrzeni,

$c$ – prędkość światła w próżni,

$\mathrm{\Lambda }$ – stała kosmologiczna.

Drugie z równań Friedmana, zwane również równaniem na przyspieszenie, zawiera drugą pochodną czynnika skali po czasie kosmicznym:

$\dot{H}+H^2\equiv \frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +\frac{3p}{c^2})+\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^2}{3}.$

Parametr Hubble’a zmienia się w czasie, a jego obecna wartość, $H_0,$ zwana jest stałą Hubble’a i pojawia się jako współczynnik proporcjonalności w prawie Hubble’a. Natomiast rosnący w czasie czynnik skali (na co wskazują obserwacje astronomiczne) oznacza ekspansję wszechświata.

Z równań Friedmana można wyeliminować ciśnienie, jeżeli zna się równanie stanu rozważanego płynu, czyli związek między jego gęstością a ciśnieniem. Natomiast wprowadzenie parametru gęstości $\mathrm{\Omega }=\rho /{\rho }_c,$ gdzie ${\rho }_c$ jest gęstością krytyczną, pozwala na przeformułowanie pierwszego równania Friedmana do ogólnej postaci:

$\frac{H^2}{H_0^2}={\mathrm{\Omega }}_r{a}^{-4}+{\mathrm{\Omega }}_m{a}^{-3}+{\mathrm{\Omega }}_k{a}^{-2}+{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}.$

Wielkości ${\mathrm{\Omega }}_r,$ ${\mathrm{\Omega }}_m$ i ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}$ są odpowiednio parametrami gęstości promieniowania, materii i stałej kosmologicznej, zaś ${\mathrm{\Omega }}_k$ jest „parametrem krzywizny”. Znajomość tych parametrów, a więc znajomość składu wszechświata, pozwala wnioskować o jego przeszłej i przyszłej ewolucji, oczywiście w przypadku, gdy spełnione jest założenie o jego jednorodności i izotropowości (lub też jest ono dobrym przybliżeniem).

Szablon:Szablon nawigacyjny Szablon:Kosmologia fizyczna