Przestrzeń sprzężona w sensie sprzężenia zespolonego

Przestrzeń sprzężona w sensie sprzężenia zespolonego – dla danej zespolonej przestrzeni liniowej $V$ przestrzeń liniowa $\bar{V},$ której elementami są elementy zbioru $V,$ działanie dodawania jest takie samo jak w przestrzeni $V,$ natomiast mnożenie przez skalary zdefiniowane jest wzorem

$\alpha \odot x=\bar{\alpha }x,$

dla każdego $x\in V$ oraz każdej liczby zespolonej $\alpha .$ Działanie po prawej stronie znaku równości oznacza mnożenie przez skalar (liczbę sprzężoną do $\alpha$) w przestrzeni $V.$

Przestrzenie $V$ i $\bar{V}$ mają jednakowe wymiary, a więc są izomorficzne z punktu widzenia algebry liniowej, to znaczy istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie liniowe między tymi przestrzeniami. Przestrzeń $\overline{\stackrel{‾}{V}}$ można w naturalny sposób utożsamiać z przestrzenią $V$ (zob. idempotentność).

Jeśli $V,W$ są zespolonymi przestrzeniami liniowymi oraz $A:V\to W$ jest odwzorowaniem antyliniowym, to jest ono liniowe jako przekształcenie przestrzeni $\bar{V}$ w przestrzeń $W$ (cały czas można mówić o jednym i tym samym odwzorowaniu ponieważ zbiory wektorów przestrzeni $V$ i $\bar{V}$ są równe). W szczególności, identyczność

$\text{id}:H\to \bar{H}$

jest izomorfizmem antyliniowym.

Twierdzenie Riesza o reprezentacji ciągłych funkcjonałów liniowych na przestrzeni Hilberta $H$ mówi, że dla każdego $x^{*}\in H^{*}$ istnieje dokładnie jeden element $a\in H$ taki, że

$x^{*}x=(x|a)$

dla każdego $x\in H.$ Z tego twierdzenia wynika, że każda przestrzeń Hilberta $H$ jest antyliniowo (izometrycznie) izomorficzna ze swoją przestrzenią sprzężoną $H^{*}.$ Stąd, niekiedy wygodnie jest dokonywać utożsamienia

$H^{*}=\bar{H}.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę