Przestrzeń de Sittera

Przestrzeń de Sittera – rozmaitość lorentzowska względem n-sfery (która jest kanoniczną metryką riemannowską); jest maksymalnie symetryczna, posiada stałą pozytywną krzywiznę. Jest przestrzenią jednospójną dla n większego lub równego 3. N-wymiarowa przestrzeń de Sittera oznaczana jest symbolem $d{S}_n.$

W języku ogólnej teorii względności, przestrzeń de Sittera jest maksymalnie symetrycznym rozwiązaniem równań pola grawitacyjnego w próżni z dodatnią (odpychającą) stałą kosmologiczną $\mathrm{\Lambda }$ (korespondującą do pozytywnej gęstości energii próżni oraz negatywnego ciśnienia). Gdy $n=4$ (3 wymiary przestrzenne plus czas), to jest ona kosmologicznym modelem dla fizycznego wszechświata de Sittera.

Definicja formalna

Przestrzeń de Sittera może być zdefiniowana jako podrozmaitość przestrzeni Minkowskiego. Weźmy przestrzeń Minkowskiego ${𝐑}^{1,n}$ ze zwykłą metryką:

$d{s}^2=-d{x}_0^2+\sum _{i=1}^{n}d{x}_i^2.$

Przestrzeń de Sittera jest podrozmaitością opisaną przez hiperboloidę jednopowłokową

$-x_0^2+\sum _{i=1}^n{x}_i^2={\alpha }^2,$

gdzie $\alpha$ jest dodatnią stałą z wymiarem długości. Metryka na przestrzeni de Sittera jest metryką indukowaną z metryki Minkowskiego. Metryka ta jest niezdegenerowana.

Topologicznie przestrzeń de Sittera jest $𝐑\times S^{n-1}$ (więc dla $n⩾3$ jest przestrzenią jednospójną).

Bibliografia

• Wolf, Joseph A., Spaces of constant curvature, 1967.