Proste skośne

Proste skośne, proste wichrowate – proste, które się nie przecinają i jednocześnie nie są równoległe. Równoważnie – dwie proste są skośne, jeśli nie leżą na tej samej płaszczyźnie. Proste skośne występują w trzech lub więcej wymiarach.

Jeśli każda z dwóch prostych jest zadana za pomocą pary nieidentycznych punktów, to proste te są skośne wtedy i tylko wtedy, gdy cztery definiujące je punkty nie są współpłaszczyznowe.

Odległość między dwiema prostymi skośnymi

Dwie proste skośne określone są przez dwie pary punktów $({𝐯}_1,{𝐯}_2)$ i $({𝐯}_3,{𝐯}_4).$

Dowolne dwa punkty tych prostych mogą być zapisane jak wektor w postaci $t({𝐯}_2-{𝐯}_1)-{𝐯}_1$ i $s({𝐯}_4-{𝐯}_3)-{𝐯}_3.$ Odległość między dwoma takimi punktami może być obliczona przy użyciu twierdzenia Pitagorasa do współrzędnych i przegrupowaniu wynikowego wielomianu z $s$ i $t$ jako

$A{s}^2+2Bst+C{t}^2+2Ds+2Et+F,$

gdzie:

$A=(v_4-v_3)\cdot (v_4-v_3),B=(v_4-v_3)\cdot (v_1-v_2),$

$C=(v_1-v_2)\cdot (v_1-v_2),D=(v_4-v_3)\cdot (v_3-v_1),$

$E=(v_1-v_2)\cdot (v_3-v_1),F=(v_3-v_1)\cdot (v_3-v_1).$

Szukając minimum tego wyrażenia, otrzymujemy najmniejszą odległość między dwoma prostymi jako

$d^2=\frac{ACF+2BDE-A{E}^2-C{D}^2-F{B}^2}{AC-B^2}=\frac{\det R}{\det S},$

gdzie $R=\left[\begin{array}{ccc}A& B& D\\ B& C& E\\ D& E& F\end{array}\right]$ i $S=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ B& C\end{array}\right].$

Wykorzystując Tożsamość Lagrange’a, można przepisać to do postaci:

$d=\frac{\Vert (v_4-v_1)\wedge (v_3-v_1)\wedge (v_2-v_1)\Vert }{\Vert (v_4-v_3)\wedge (v_2-v_1)\Vert },$

w której operator $\wedge$ oznacza iloczyn zewnętrzny wektorów.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Skew lines Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].