Presnop

Presnopem określonym na przestrzeni topologicznej $X$ nazywamy funkcję $ℱ$ określoną na rodzinie $𝔒$ wszystkich podzbiorów otwartych tej przestrzeni, taką że dla dowolnych zbiorów $U,V\in 𝔒,U\subset V$ określona jest funkcja

${\rho }_U^V:ℱ(V)\to ℱ(U)$

o własnościach:

1. $ℱ(\varnothing )$ składa się z jednego elementu,
2. ${\rho }_U^U={\mathrm{Id}}_U$ (${\rho }_U^U$ jest przekształceniem tożsamościowym na $U$),
3. dla dowolnych zbiorów otwartych $U\subset V\subset W:$ ${\rho }_U^W={\rho }_U^V\circ {\rho }_V^W$.

Czasem taki presnop oznacza się przez $ℱ.$ Jeśli istotne jest podkreślenie, że funkcja ${\rho }_U^V$ jest związana z presnopem $ℱ,$ to stosowane jest oznaczenie ${\rho }_{U,ℱ}^V.$ Funkcja ${\rho }_U^V$ jest nazywana odwzorowaniem ograniczenia.

Jeśli wszystkie zbiory $ℱ(V)$ są grupami, modułami nad ustalonym pierścieniem, albo pierścieniami, a odwzorowania ${\rho }_U^V$ są homomorfizmami tych struktur algebraicznych, to presnop nazywany jest odpowiednio presnopem grup, modułów, albo pierścieniSzablon:R.

Własności

• Presnop grup abelowych można zdefiniować jako funktor kontrawariantny z kategorii podzbiorów otwartych przestrzeni $X$ w kategorię grup abelowych.
• Można definiować presnop jako funktor kowariantny z kategorii podzbiorów otwartych przestrzeni $X$ w dowolną kategorięSzablon:R.

Przykłady

• Jeśli $M$ jest zbiorem, $ℱ(U)$ jest zbiorem wszystkich funkcji na $U$ o wartościach w $M$ oraz ${\rho }_U^V(f)=f{|}_U$ dla $f\in ℱ(V),$ to $ℱ$ jest nazywany presnopem wszystkich funkcji na $X$Szablon:R.
• Jeśli $M$ jest przestrzenią topologiczną, $ℱ(U)$ jest zbiorem wszystkich funkcji ciągłych na $U$ o wartościach w $M,$ a ${\rho }_U^V$ jest określone tak, jak w poprzednim przykładzie, to $ℱ$ jest nazywany presnopem funkcji ciągłych na $X$Szablon:R.
• Każdy presnop generuje pewien snopSzablon:R. Niech $ℱ$ będzie presnopem na przestrzeni topologicznej $X.$ Dla każdego zbioru otwartego $U\subset X$ niech $U\times ℱ(U)$ będzie iloczynem kartezjańskim przestrzeni topologicznych: $U$ z topologią indukowaną przez topologię $X$ oraz $ℱ(U)$ z topologią dyskretną. Niech $E=\underset{U\subset X}{⨆}(U\times ℱ(U))$ będzie sumą rozłączną tych przestrzeni, gdzie $U$ przebiega zbiór wszystkich zbiorów otwartych w $X.$ Na tej przestrzeni można określić relację równoważności $R:$

dla $(x,s)\in U\times ℱ(U)$ i $(y,t)\in V\times ℱ(V):$

$(x,s)R(y,t)\iff (x=y\wedge {\mathrm{\exists }}_{x\in W\subset U\cap V}{\rho }_W^U(s)={\rho }_W^V(t)).$

Wtedy przestrzeń ilorazowa $𝔉=ℱ/R$ z rzutowaniem $\pi :𝔉\to X$ indukowanym przez rzutowanie $p:E\to X$ określone wzorem $p(x,s)=x$ jest snopem na $X$ nazywanym snopem generowanym przez presnop $ℱ.$

• Istnieją presnopy, które nie są snopamiSzablon:R.