Prędkość grupowa

Prędkość grupowa – wielkość opisująca rozchodzenie się fal nieharmonicznych (innych niż sinusoidalne), w sytuacji, gdy natężenie fali nie wpływa na prędkość jej ruchu. Inaczej, prędkość grupowa to prędkość rozchodzenia się modulacji zwykle odpowiadająca prędkości przenoszenia informacji i energii przez falę.

Dla fal rozprzestrzeniających się bez zmiany kształtu impulsu falowego odpowiada prędkości rozchodzenia się impulsu i prędkości rozchodzenia się czoła fali.

Dla fal prawie harmonicznych, opisanych jako fala harmoniczna o zmieniającej się amplitudzie, prędkość rozchodzenia się grzbietów modulacji, czyli prędkość grupową określa wzór:

Fala o prędkości grupowej mniejszej od prędkości fazowej. Czerwony punkt porusza się z prędkością fazową, a zielony z prędkością grupową.

$v_g\equiv \frac{\partial \omega }{\partial k},$

gdzie:

$v_g$ – prędkość grupowa,

$\omega$ – częstość kątowa drgań fali,

$k$ – wektor falowy.

Pojęcie prędkość grupowa wprowadzono w celu odróżnienia od prędkości przemieszczania się grzbietów fali nazywanej prędkością fazową, która pojawia się m.in. w prawie załamania światła.

W próżni prędkość grupowa światła jest równa prędkości fazowej i jest równa prędkości światła w próżni. W ośrodkach materialnych prędkość grupowa światła jest zwykle mniejsza od prędkości światła w próżni, lecz może być większa, a nawet ujemna (dla metamateriałów o ujemnym współczynniku załamania). Większa wartość prędkości grupowej od prędkości światła w próżni nie stoi w sprzeczności ze szczególną teorią względności, gdyż prędkość grupowa w takich przypadkach nie jest szybkością rozprzestrzeniania się fali, a tym samym i przenoszenia sygnałów.

W ośrodkach dyspersyjnych prędkość grupowa jest różna od prędkości fazowej. Natomiast w ośrodkach, w których amplituda fali wpływa na szybkość jej przemieszczania się nie wprowadza się pojęcia prędkości grupowej.

Pojęcia prędkości grupowej i fazowej wprowadził William Rowan Hamilton w 1839 roku.

W mechanice kwantowej

W mechanice kwantowej, zgodnie z hipotezą de Broglie’a, każdej cząstce odpowiada paczka fal zespolonych zwanych falami materii, dla tych fal:

$v_g=\frac{\partial \omega }{\partial k}=\frac{\partial (E/\hslash )}{\partial (p/\hslash )}=\frac{\partial E}{\partial p},$

gdzie:

$E$ – energia kinetyczna cząstki,

$p$ – pęd tej cząstki,

$\hslash$ – stała Diraca.

Używając mechaniki relatywistycznej, stwierdza się że:

$\begin{array}{cc}{v}_g& =\frac{\partial E}{\partial p}=\frac{\partial }{\partial p}(\sqrt{p^2{c}^2+m^2{c}^4}-m{c}^2)=\frac{p{c}^2}{\sqrt{p^2{c}^2+m^2{c}^4}}\\ & =\frac{\gamma mv{c}^2}{\sqrt{{\gamma }^2{m}^2{v}^2{c}^2+m^2{c}^4}}=\frac{\gamma vc}{\sqrt{{\gamma }^2{v}^2+c^2}}=v,\end{array}$

gdzie:

$c$ – prędkość światła w próżni,

$\gamma$ – czynnik Lorentza.

Wynik ten oznacza, że bez względu na masę cząstki, jej prędkość i inne parametry, prędkość grupowa fali materii odpowiada prędkości ruchu cząstki, co jest zgodne z oczekiwaniami.

Wzór na prędkość grupową

Fala modulowana może być przedstawiona jako suma dwóch fal o różnych i niewiele różniących się częstościach. Przyjmując, że fazy początkowe obu fal są równe zero, różnica ich faz wynosi:

$\mathrm{\Delta }\varphi ={\varphi }_1(z,t)-{\varphi }_2(z,t)=({\omega }_{1}t-k_{1}z)-({\omega }_{2}t-k_{2}z).$

Fale wzmacniają się, gdy mają jednakowe fazy, oznacza to, że by poruszać się z prędkością rozchodzenia się wzmocnienia trzeba poruszać się z jego prędkością grupową, czyli dla takiej samej fazy. Wynika z tego, że różniczka powyższego wyrażenia jest równa zero:

$({\omega }_{1}dt-k_{1}dz)-({\omega }_{2}dt-k_{2}dz)=({\omega }_1-{\omega }_2)dt-(k_1-k_2)dz=0.$

Prędkość jest równa $\frac{dz}{dt},$ czyli:

$v_g=\frac{dz}{dt}=\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{k_2-k_1}=\frac{d\omega }{dk}.$

Związek z prędkością fazową

Między prędkością grupową $v_g$ a fazową $v_p$ istnieją zależności:

$v_{\mathrm{g}}=v_{\mathrm{p}}+k\cdot \frac{d{v}_{\mathrm{p}}}{dk}$

lub:

$v_{\mathrm{g}}=v_{\mathrm{p}}-\lambda \cdot \frac{d{v}_{\mathrm{p}}}{d\lambda }.$

Z zależności tych wynika, że fala ulega dyspersji, gdy prędkość fazowa zależy od długości fali $\lambda$ (liczby falowej), natomiast gdy prędkość fazowa nie zależy od długości fali, to fala nie ulega dyspersji.

Wyprowadzenie zależności

Z definicji prędkości fazowej $v_p$ wynika:

$v_{\mathrm{p}}=\frac{\omega }{k}=\lambda \cdot f.$

Związki dla wielkości opisujących fale: długość fali $\lambda ,$ częstotliwość $f:$

$\omega =2\pi f,$

$k=\frac{2\pi }{\lambda },$

$\omega =v_{\mathrm{p}}k,$

to

$\frac{d\omega }{dk}=\frac{d}{dk}{v}_{\mathrm{p}}k=v_{\mathrm{p}}\frac{dk}{dk}+k\frac{d{v}_{\mathrm{p}}}{dk}$

$v_{\mathrm{g}}=v_{\mathrm{p}}+k\cdot \frac{d{v}_{\mathrm{p}}}{dk}$

oraz

$\frac{d}{dk}=\frac{d}{d\lambda }\cdot \frac{d\lambda }{dk}$ i $\frac{d\lambda }{dk}=\frac{d\frac{2\pi }{k}}{dk}=-\frac{2\pi }{k^2}$

$v_{\mathrm{g}}=v_{\mathrm{p}}-\lambda \cdot \frac{d{v}_{\mathrm{p}}}{d\lambda }$

Linki zewnętrzne

• Subluminal – animacja obrazująca różnicę między prędkością grupową i fazową
• Szablon:Cytuj stronę – aplet javy.