Powinowactwo prostokątne

Powinowactwo prostokątne – rodzaj powinowactwa osiowego na płaszczyźnie.

Definicja

Powinowactwo prostokątne $f$ o osi $k$ jest to takie powinowactwo osiowe na płaszczyźnie, w którym prosta $k$ jest prostą punktów stałych tego przekształcenia, a wektor powinowactwa jest prostopadły do osi.
Wektor powinowactwa jest to uporządkowana para punktów nie leżąca na osi $k:$ dowolny punkt $A$ i jego obraz punkt $A^{\prime }.$
Stosunek powinowactwa jest to liczba $s$ spełniająca warunek: $\overrightarrow{{A_P}^{\prime }{A}^{\prime }}=s\cdot \overrightarrow{A_{P}A},$ gdzie punkty $A_P$ i $A{\text{'}}_P$ są rzutami prostokątnymi punktu $A$ i jego obrazu $A^{\prime }$ na oś $k.$
Powinowactwo prostokątne można opisać w prostokątnym układzie współrzędnych wzorem analitycznym:
$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x\\ y^{\prime }=sy\end{array}$

Własności

• Dla dowolnych punktów $A$ i $B$ niebędących punktami stałymi powinowactwa prostokątnego $f$ proste $Af(A)$ i $Bf(B)$ są równoległe.
• Jeśli wektor powinowactwa jest zerowy $(A=A^{\prime }),$ to powinowactwo prostokątne staje się przekształceniem tożsamościowym.
• Jedynymi punktami stałymi w powinowactwie prostokątnym różnym od tożsamościowego są punkty osi powinowactwa $k.$
• Jedynymi prostymi stałymi powinowactwa prostokątnego nietożsamościowego jest oś powinowactwa $k$ i wszystkie proste prostopadłe do osi powinowactwa.
• Powinowactwo prostokątne jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa $k$ i wektor powinowactwa prostopadły do osi.
• Powinowactwo prostokątne jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa $k,$ oraz stosunek powinowactwa $s.$
• Symetria osiowa jest powinowactwem prostokątnym, w którym środek wektora powinowactwa leży na osi powinowactwa.

Niezmienniki

• stosunek długości równoległych odcinków
• stosunek podziału wektora
• stosunek pól figur

Fakty

Można udowodnić, że każde przekształcenie afiniczne daje się przedstawić jako złożenie pewnego powinowactwa prostokątnego i pewnego podobieństwaSzablon:Odn.

Każde przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie jest powinowactwem prostokątnym lub złożeniem dwóch albo trzech powinowactw prostokątnych. Z tego wynika, że powinowactwa prostokątne generują grupę przekształceń afinicznych.

Zobacz też

• grupa
• powinowactwo osiowe
• symetria osiowa

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę