Powinowactwo osiowe

Powinowactwo osiowe – rodzaj przekształcenia afinicznego na płaszczyźnie.

Definicja

Powinowactwo osiowe $f$ o osi $k$ jest to takie przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie, w którym prosta $k$ jest prostą punktów stałych tego przekształcenia.

Równoważna definicja: Odwzorowanie geometryczne $f$ na płaszczyźnie nazywamy powinowactwem osiowym o osi $k,$ jeżeli każda prosta nierównoległa do prostej $k$ i jej obraz pokrywają się lub przecinają się w punkcie leżącym na osi $k.$

Wektor powinowactwa jest to uporządkowana para punktów nie leżąca na osi $k:$ dowolny punkt $A$ i jego obraz punkt $A^{\prime }.$

Kierunek powinowactwa jest zbiór wszystkich prostych równoległych do wektora powinowactwa.

Stosunek powinowactwa jest to liczba $s$ spełniająca warunek: $\overrightarrow{{A_P}^{\prime }{A}^{\prime }}=s\cdot \overrightarrow{A_{P}A},$ gdzie punkty $A_P$ i $A{\text{'}}_P$ są rzutami prostokątnymi punktu $A$ i jego obrazu $A^{\prime }$ na oś $k.$

Własności

• Dla dowolnych punktów $A$ i $B$ niebędących punktami stałymi powinowactwa osiowego $f$ proste $Af(A)$ i $Bf(B)$ są równoległe.
• Jeśli wektor powinowactwa jest zerowy $(A=A^{\prime }),$ to powinowactwo osiowe staje się przekształceniem tożsamościowym.
• Jedynymi punktami stałymi w powinowactwie osiowym różnym od tożsamościowego są punkty osi powinowactwa $k.$
• Jedynymi prostymi stałymi powinowactwa osiowego nietożsamościowego jest oś powinowactwa $k$ i wszystkie proste równoległe do kierunku powinowactwa.
• Powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa $k$ i wektor powinowactwa.
• Powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa $k,$ kierunek powinowactwa oraz stosunek powinowactwa $s$ różny od 1.

Niezmienniki

• stosunek długości równoległych odcinków
• stosunek podziału wektora
• stosunek pól figur

Fakty

Można udowodnić, że każde przekształcenie afiniczne daje się przedstawić jako złożenie pewnego powinowactwa osiowego i pewnego podobieństwa.

Rodzaje powinowactwa osiowego:

• powinowactwo prostokątne – kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi powinowactwa,
• powinowactwo ścinające (ścięcie) – kierunek powinowactwa jest równoległy do osi powinowactwa,
• symetria skośna – środek wektora powinowactwa leży na osi powinowactwa,
• symetria osiowa – kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi i środek wektora leży na osi.

Każde przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie jest powinowactwem osiowym lub złożeniem co najwyżej trzech powinowactw osiowych. Z tego wynika, że powinowactwa osiowe generują grupę przekształceń afinicznych.

Zobacz też

• grupa
• homeomorfizm
• izometria
• jednokładność

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę