Poprawka Bessela

Błąd oszacowania wariancji (na osi Y) z poprawką i bez (kolor czarny i żółty), w zależności od wielkości próby (na osi X) – ilustrowany na podstawie stu symulacji losowań z rozkładu normalnego (μ=0, σ²=1) dla każdego n. Średni błąd oszacowania z poprawką jest równy zeru. Błąd estymatora bez poprawki jest szczególnie silny w próbach mniejszych niż ok. 30 obserwacji.

Poprawka Bessela – stosowanie $n-1$ zamiast surowej liczby obserwacji $n$ przy statystycznej estymacji wariancji populacji na podstawie próby. Poprawka redukuje obciążenie tego estymatora (systematyczne niedoszacowanie wariancji) wynikające z jednoczesnego szacowania wariancji i średniej ze skończonej próby. Ma znaczenie zwłaszcza przy próbach poniżej ok. 30 obserwacji. Jej zwyczajowa nazwa odwołuje się do astronoma Friedricha W. Bessela; technikę opisał w tym samym okresie jednak także Carl Gauss.

Poprawka nie jest potrzebna, jeśli do obliczeń wykorzystuje się prawdziwą średnią populacyjną. Jeśli dane nie pochodzą z rozkładu normalnego, poprawka może być nieskuteczna i zwiększać błąd średniokwadratowy estymatora. Nie zapewnia nieobciążenia oszacowania odchylenia standardowego. Inne momenty rozkładu (jak skośność i kurtoza) także wymagają poprawek, jednak jest to bardziej skomplikowane.

Dowód

Oczekiwana rozbieżność pomiędzy obciążonym estymatorem wariancji z próby, a jej prawdziwą wartością w populacji, odpowiada wariancji średniej z próby:

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}[{\sigma }^2-s_{\text{obc.}}^2]& =\mathrm{E}[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2]\\ & =\frac{1}{n}\mathrm{E}\left[\sum _{i=1}^n((x_i^2-2x_i\mu +{\mu }^2)-(x_i^2-2x_i\bar{x}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}))\right]\\ & =\mathrm{E}[{\mu }^2-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(2x_i(\bar{x}-\mu ))]\\ & =\mathrm{E}[{\mu }^2-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}+2(\bar{x}-\mu )\bar{x}]\\ & =\mathrm{E}[{\mu }^2-2\bar{x}\mu +\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}]\\ & =\mathrm{E}[(\bar{x}-\mu {)}^2]\\ & =\mathrm{Var}(\bar{x})\\ & =\frac{{\sigma }^2}{n}\end{array}$

I analogicznie, oczekiwana wartość obciążonego estymatora to prawdziwa wartość wariancji pomniejszona o tę rozbieżność:

$\mathrm{E}\left[s_{\text{obc.}}^2\right]={\sigma }^2-\frac{{\sigma }^2}{n}=\frac{n-1}{n}{\sigma }^2$

Co pozwala uzyskać następujący wzór na estymator nieobciążony:

$s_{\text{nieobc.}}^2=\frac{n}{n-1}{s}_{\text{obc.}}^2$

Intuicja

Estymator obciążony jest obliczany przy użyciu średniej z próby, co wprowadza dodatkowe źródło błędu – każde odchylenie obserwacji, $x_i-\mu ,$ jest niedoszacowane o odchylenie średniej z próby od średniej z populacji, $\overline{x}-\mu .$ Wariancja jej estymatora wynosi $\frac{{\sigma }^2}{n}.$ Poprawka Bessela usuwa to systematyczne obciążenie.