Podsilnia

Podsilnia – liczba tzw. nieporządków zbioru skończonego, gdzie „nieporządkiem” nazywa się każdą permutację bez punktów stałych wspomnianego zbioru. Po raz pierwszy wzory opisujące nieporządki pojawiają się w pracach Eulera i Bernoulliego; podsilnia z nieujemnej liczby całkowitej jest równa permanentowi macierzy z zerami na głównej przekątnej i jedynkami poza nią stopnia równego wspomnianej liczbie.

W przypadku zbioru $n$-elementowego, gdzie $n$ jest nieujemną liczbą całkowitą podsilnia $!n$ oznacza więc liczbę takich rozmieszczeń $n$ piłeczek, z których każda przypisana jest do jednej z $n$ urn, że żadna z piłeczek nie trafiła do „swojej” urny. Podsilnia dla liczb $0,1,2,3,4,5$ wynosi odpowiednio $1,0,1,2,9,44;$ przy czym funkcja ta rośnie w podobnym tempie do silni, np. $!21=18795307255050944540$ Liczba $148349$ jest jedyną liczbą, która jest równa sumie podsilni swoich cyfr: $148349=!1+!4+!8+!3+!4+!9.$

Definicja

Podsilnię definiuje się rekurencyjnie jako funkcję $!n$ zbioru nieujemnych liczb całkowitych w siebie, która spełnia

$\{\begin{array}{c}!0=1,\\ !n=n(!(n-1))+(-1{)}^n,\\ !(n+1)=n(!n+!(n-1));\end{array}$

bądź po derekursywacji, za pomocą wzoru

$!n=n!(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\dots +(-1{)}^n\frac{1}{n!}),$

gdzie $n!$ oznacza zwykłą silnię.