Pierścień kołowy

Pierścień kołowy – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej ograniczony dwoma okręgami współśrodkowymi o różnych promieniach.

Definicja formalna

Niech $S=(x_0,y_0)$ będzie dowolnym punktem płaszczyzny euklidesowej $\mathrm{\Omega },$ zaś $R$ oraz $r$ odcinkami na niej leżącymi. Bez straty ogólności możemy założyć, że $r<R$.

Pierścieniem kołowym nazywamy różnicę zbiorów dwóch kół o promieniach $R$ oraz $r,$ czyli podzbiór płaszczyzny opisywany układem równań

$\{\begin{array}{c}(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2⩽R^2\\ (x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2⩾r^2\end{array}$

lub równoważnie

$r⩽\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}⩽R.$

Płaszczyzna zespolona

W analizie zespolonej pierścień kołowy $P(a;r,R)$ jest otwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej:

$\{z:r<|z-a|<R\}.$

Jeżeli $r=0,$ to obszar ten nazywany jest czasem kołem (dyskiem) bez punktu o promieniu $R$ wokół punktu $a.$

Jako podzbiór płaszczyzny zespolonej pierścień kołowy może być rozważany jako powierzchnia Riemanna. Struktura zespolona pierścienia zależy wyłącznie od współczynnika $r/R.$ Każdy pierścień kołowy $P(a;r,R)$ może być odwzorowany holomorficznie w wyśrodkowany pierścień o promieniu zewnętrznym równym $1$ za pomocą przekształcenia

$z\mapsto \frac{z-a}{R}.$

Promień wewnętrzny jest wtedy związany relacją $\frac{r}{R}<1.$

Twierdzenie Hadamarda mówi o wartości maksymalnej jaką może przyjąć funkcja holomorficzna wewnątrz pierścienia kołowego.

Topologia

Otwarty pierścień kołowy jest topologicznie równoważny z otwartym walcem $S^1\times (0,1)$ i płaszczyzną bez punktu.

Pole

Pole pierścienia jest różnicą pól kół o promieniach $R$ i $r:$

$P=\pi (R^2-r^2).$

Znając wartość obwodów pierścienia: zewnętrznego $O$ i wewnętrznego $o:$

$P=\frac{O^2-o^2}{4\pi }.$

Wynik ten może być otrzymany metodami analitycznymi przez podzielenie pierścienia na nieskończenie wiele pierścieni o nieskończenie małych szerokościach $d\rho$ i polach $2\pi \varrho d\varrho$ (= długość okręgu razy szerokość) i całkowaniu od $\varrho =r$ do $\varrho =R:$

$P=\underset{r}{\overset{R}{\int }}2\pi \varrho d\varrho =\pi (R^2-r^2).$

Zobacz też

• rura cylindryczna – bryła obrotowa, której podstawą jest pierścień kołowy
• walec

Linki zewnętrzne

• definicja i własności pierścienia kołowego z animacją interaktywną,
• wzór na pole pierścienia z animacją interaktywną.