Pierścień Witta

Szablon:Dopracować Pierścień Witta – pierścień o strukturze przekształconej w zbiór wektorów w taki sposób, że pierścień wektorów nad skończonym ciałem o charakterystyce $p$ jest pierścieniem liczb p-adycznych. Nazwa pochodzi od Ernsta Witta, który jako pierwszy dokonał takiego przekształcenia.

Konstrukcja

Weźmy liczbę pierwszą $p.$ Wektor Witta nad pierścieniem przemiennym $R$ jest ciągiem $(X_0,X_1,X_2,\dots )$ elementów $R.$

Zdefiniujmy wielomiany Witta $W_i$ w następujący sposób:

$W_0=X_0$

$W_1=X_0^p+p{X}_1$

$W_2=X_0^{p^2}+p{X}_1^p+p^2{X}_2$

i ogólnie

$W_n=\sum _i{p}^i{X}_i^{p^{n-i}}.$

Następnie Witt pokazał, że istnieje metoda przekształcenia dowolnego przemiennego pierścienia R w tzw. pierścień wektorów Witta, taki że:

• suma i iloczyn są dane przez wielomiany ze współczynnikami, które nie zależą od $R,$
• każdy wielomian Witta jest homomorfizmem z pierścienia wektorów Witta nad $R$ w $R.$

Pierwsze kilka wielomianów określających sumę i iloczyn wektorów Witta zostało podane poniżej:

$(X_0,X_1,\dots )+(Y_0,Y_1,\dots )=(X_0+Y_0,X_1+Y_1+(X_0^p+Y_0^p-(X_0+Y_0{)}^p)/p,\dots ),$

$(X_0,X_1,\dots )\times (Y_0,Y_1,\dots )=(X_0{Y}_0,X_0^p{Y}_1+Y_0^p{X}_1+p{X}_1{Y}_1,\dots ).$