Operator translacji

Szablon:Dopracować Operator translacji – operator liniowy określony na przestrzeni funkcji, którego działanie można określić jako przesunięcie funkcji o dany wektor.

Jeśli $f(x)$ jest funkcją z przestrzeni funkcji $V$ wówczas: $T_a(f)(x)=f(x-a).$

Do poprawnej definicji operatora translacji wymagane jest, by zachodziło wynikanie: jeśli $f$ należy do przestrzeni funkcji $V,$ to wówczas każda funkcja postaci $f(x-a)\in V.$

Rozpatrzmy infinitezymalną translację przestrzenną $\delta 𝐫,$ w wyniku której funkcja falowa zmieni się następująco:

${\mathrm{\Psi }}^{\text{'}}=\mathrm{\Psi }(𝐫+\delta 𝐫)=\mathrm{\Psi }(𝐫)+\delta 𝐫\frac{\partial \mathrm{\Psi }(𝐫)}{\partial 𝐫}=D\psi ,$

gdzie:

$D=1+\delta 𝐫\frac{\partial }{\partial 𝐫}$

jest operatorem infinitezymalnych translacji. Wiemy, że operator pędu ma postać $𝐩=-i\hslash \partial /\partial 𝐫,$ możemy zatem napisać D jako

$D=1+i\delta 𝐫𝐩/\hslash .$

Skończoną translację $\mathrm{\Delta }𝐫$ można uzyskać jako złożenie $n$ translacji infinitezymalnych $(\mathrm{\Delta }𝐫=n\delta 𝐫)$ w granicy $n\to \mathrm{\infty }:$

$D=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{i\mathrm{\Delta }𝐫𝐩}{n\hslash }{)}^n=e^{i\mathrm{\Delta }𝐫𝐩/\hslash }.$