Nilradykał

Nilradykał – dla danego pierścienia przemiennego $A,$ zbiór wszystkich jego elementów nilpotentnych^[1].

Własności

Nilradykał jest ideałem, bo jeśli $a, x, y$ są takimi elementami pierścienia $A,$ że $x^{n} = 0$ i $y^{m} = 0,$ to

(x + y)^{m + n - 1} = 0

i

(a x)^{n} = 0 .

Nilradykał jest częścią wspólną wszystkich ideałów pierwszych. Dowód jest oparty na lemacie Kuratowskiego-Zorna^[2].
Pierścień składa się wyłącznie z jedności i elementów nilpotentnych wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz tego pierścienia przez jego nilradykał jest ciałem.
Pierścień zawiera dokładnie jeden ideał pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego element nieodwracalny jest nilpotentny.
Jeżeli każdy ideał pierścienia niezawierający się w nilradykale zawiera element idempotenty, to nilradykał ten jest identyczny z radykałem Jacobsona.

W pierścieniu wielomianów zmiennych $X_{1}, \dots, X_{n}$ o współczynnikach z pewnego pierścienia $A$ nilradykał jest zbiorem tych wielomianów, których wszystkie współczynniki są elementami nilpotentnymi w $A .$ W szczególności, twierdzenie to jest prawdziwe dla pierścienia wielomianów jednej zmiennej $A [X] .$
W pierścieniu $Z_{8} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ reszt modulo 8 jedynym ideałem pierwszym jest ${0, 2, 4, 6} .$ Jednocześnie jest on nilradykałem, bo w $Z_{8}$ mamy $2^{3} = 0,$ $4^{2} = 0$ i $6^{3} = 0 .$
W pierścieniu $Z_{36}$ są dwa ideały pierwsze – ideały główne generowane przez reszty 2 i 3. Ich częścią wspólną jest ideał główny $(6) = {0, 6, 12, 18, 24},$ który jest jednocześnie nilradykałem. Z drugiej strony, ideał (6) nie jest ideałem pierwszym, bo nie należy do niego ani 2, ani 3, a ich iloczyn jest równy reszcie 6, która należy do (6).
W pierścieniu $Z_{180}$ ideałami pierwszymi są ideały główne (2), (3) i (5), a nilradykałem jest (30).