Nieskończenie duże

Nieskończenie duże – podzbiór ciała uporządkowanego $𝔉:=(𝔽,+,\cdot ,0,1,<)$ zdefiniowany jako zbiór tych elementów ciała, które są większe od dowolnej liczby „naturalnej” tego ciała (czyli liczby powstałej z sumowania elementu neutralnego działania multyplikatywnego ciała $𝔉$), czyli zbiór:

$\mathrm{\Psi }:=\{x\in 𝔽:{\mathrm{\forall }}_{n\in \mathbb{N}}|x|>n\}.$

Ponieważ w każdym ciele uporządkowanym porządek jest liniowy oraz istnieją liczby „naturalne” (w sensie opisanym powyżej), to da się również zdefiniować zbiór liczb nieskończenie dużych $\mathrm{\Psi }.$

Ciało liczb rzeczywistych

W ciele liczb rzeczywistych $\Re :=(ℝ,+,\cdot ,0,1,<),$ jak i w każdym ciele archimedesowym, nie istnieją liczby nieskończenie duże, tzn. $\mathrm{\Psi }=\mathrm{\varnothing }$.

Ciało liczb hiperrzeczywistych

Szablon:Osobna sekcja W ciele liczb hiperrzeczywistych ${\Re }^{*}:=({ℝ}^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec )$ zbiór liczb nieskończenie dużych to

$\mathrm{\Psi }:=\{x\in {ℝ}^{*}:{\mathrm{\forall }}_{n\in \mathbb{N}}|x|\succ n^{*}\}$.

Hiperrzeczywistych liczb nieskończenie dużych jest nieskończenie wiele, do zbioru $\mathrm{\Psi }$ należy np. liczba $[(n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}]$, a liczba odwrotna do liczby nieskończenie dużej jest nieskończenie mała.