Nierówność Grönwalla

Nierówność Grönwalla (lemat Grönwalla; nierówność Grönwalla–Bellmana) – jedna z podstawowych nierówności stosowanych w teorii równań różniczkowych zwyczajnych. Stosowana jest m.in. w twierdzeniach o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych. Twierdzenie udowodnione po raz pierwszy przez szwedzkiego matematyka, Szablon:Link-interwiki, w 1918 r.

Nierówność Grönwalla

Niech $(a,b)$ będzie przedziałem liczb rzeczywistych oraz niech $t_0\in (a,b).$ Niech ponadto $\alpha ,\beta ,u$ będą funkcjami ciągłymi określonymi na $(a,b)$ o wartościach w $R_{+}.$ Jeżeli dla każdego $t\in (a,b)$ zachodzi nierówność

$u(t)⩽\alpha (t)+|\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\beta (s)u(s)\mathrm{d}s|,$

to dla każdego $t\in (a,b)$ zachodzi również

$u(t)⩽\alpha (t)+|\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\alpha (s)\beta (s)e^{|\underset{s}{\overset{t}{\int }}\beta (\xi )\mathrm{d}\xi |}\text{d}s|.$

Dowód

Poniższy dowód podał J. A. Oguntuase:

Niech

$v(t)=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\beta (s)u(s)\text{d}s.$

Wówczas

$v^{\prime }(t)=\beta (t)u(t)⩽\alpha (t)\beta (t)+\beta (t)|\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\beta (s)u(s)\text{d}s|=\alpha (t)\beta (t)+\beta (t)\cdot \mathrm{sgn}(t-t_0)v(t).$

Ponadto, niech

$\gamma (t)=e^{-\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\mathrm{sgn}(s-t_0)\beta (s)\mathrm{d}s}.$

Mnożąc otrzymaną nierówność stronami przez $\gamma (t)$ otrzymujemy

$\gamma (t)v^{\prime }(t)⩽\alpha (t)\beta (t)\gamma (t)-v(t){\gamma }^{\prime }(t).$

Ostatecznie,

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}(\gamma (t)v(t))-\alpha (t)\beta (t)\gamma (t)⩽0.$

Wynika z powyższego, iż

$\mathrm{sgn}(t-t_0)\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\gamma (s)v(s))-\alpha (s)\beta (s)\gamma (s)\mathrm{d}s⩽0.$

Czyli

$\mathrm{sgn}(t-t_0)\gamma (t)v(t)⩽\mathrm{sgn}(t-t_0)\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\alpha (s)\beta (s)\gamma (s)\text{d}s.$

Ostatecznie,

$\begin{array}{cc}u(t)& ⩽\alpha (t)+|\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\beta (s)u(s)\mathrm{d}s|\\ & =\alpha (t)+\mathrm{sgn}(t-t_0)v(t)\\ & ⩽\alpha (t)+|\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\alpha (s)\beta (s)\frac{\gamma (s)}{\gamma (t)}\text{d}s|\\ & =\alpha (t)+|\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\alpha (s)\beta (s)e^{|\underset{s}{\overset{t}{\int }}\beta (\xi )\mathrm{d}\xi |}\text{d}s|.\end{array}$

Postać różniczkowa nierówności

Niech $I=[a,b]$ będzie odcinkiem na prostej rzeczywistej przy $a<b.$ Niech $\beta$ i $u$ będą funkcjami rzeczywistymi określonymi na odcinku $I.$ Jeżeli $u$ jest funkcją różniczkowalną na wnętrzu $\text{int}I=(a,b)$ oraz zachodzi szacowanie $u^{\prime }(t)⩽\beta (t)u(t)$ dla wszystkich $t\in (a,b),$ to zachodzi nierówność $u(t)⩽u(a)\cdot \exp (\underset{a}{\overset{t}{\int }}\beta (s)\mathrm{d}s)$ dla wszystkich $t\in I=[a,b].$