Nierówność Czebyszewa

Nierówność Czebyszewa podaje górne ograniczenie prawdopodobieństwa zdarzenia, że wartość nieujemnej zmiennej losowej jest większa lub równa od z góry ustalonej dodatniej liczby. Nazwana na cześć Pafnutija Czebyszewa.

Jedynym warunkiem na rozkład zmiennej losowej jest jej nieujemność (ściślej: zerowe prawdopodobieństwo $P\{X<0\}$) Nierówność ta jest więc bardzo ogólnym ograniczeniem. Nierówność Czebyszewa-Bienayme jest odpowiednikiem nierówności Czebyszewa także dla zmiennych niespełniających tego warunku i często również jest nazywana po prostu nierównością Czebyszewa, co może prowadzić do nieporozumień.

Twierdzenie

Niech $X$ będzie zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ taką, że $P\{X<0\}=0,$ zaś $E(X)$ jest jej wartością oczekiwaną. Wówczas dla każdego $\epsilon >0$ zachodzi:

$P\{X⩾\epsilon \}⩽\frac{E(X)}{\epsilon }.$

Dowód

Z prawdopodobieństwem 1 zachodzą następujące nierówności:

$X⩾X\cdot {\mathrm{𝟏}}_{\{X⩾\epsilon \}}⩾\epsilon \cdot {\mathrm{𝟏}}_{\{X⩾\epsilon \}},$

gdzie ${\mathrm{𝟏}}_A$ jest funkcją wskaźnikową zdarzenia $A,$ zdefiniowaną jako:

${\mathrm{𝟏}}_A(x)=\{\begin{array}{c}0dlax\notin A\\ 1dlax\in A\end{array}.$

Pierwsza z nierówności wynika w oczywisty sposób z następujących dwóch nierówności (z których pierwsza zachodzi z prawdopodobieństwem 1):

$X⩾0$ oraz $1⩾{\mathrm{𝟏}}_A.$

Druga nierówność przyjmuje postać:

$X\cdot {\mathrm{𝟏}}_{\{X⩾\epsilon \}}⩾\epsilon \cdot {\mathrm{𝟏}}_{\{X⩾\epsilon \}}⟺\{\begin{array}{c}0⩾0dlaX⩾̸\epsilon \\ X⩾\epsilon dlaX⩾\epsilon \end{array},$

czyli jest oczywista.

Biorąc wartości oczekiwane powyższych zmiennych losowych i korzystając z elementarnych własności wartości oczekiwanej, otrzymujemy łańcuszek nierówności:

$E(X)⩾E(X\cdot {\mathrm{𝟏}}_{\{X⩾\epsilon \}})⩾E(\epsilon \cdot {\mathrm{𝟏}}_{\{X⩾\epsilon \}})=\epsilon \cdot E({\mathrm{𝟏}}_{\{X⩾\epsilon \}})=\epsilon \cdot \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{\mathrm{𝟏}}_{\{X⩾\epsilon \}}dP=\epsilon \cdot P\{X⩾\epsilon \}.$

Ostatnia równość wynika z definicji całki Lebesgue’a z funkcji wskaźnikowej. Dzieląc skrajne wyrazy przez $\epsilon ,$ otrzymujemy nierówność Czebyszewa.

Z nierówności Czebyszewa wynikają nierówności: Markowa, Czebyszewa-Bienayme, wykładnicza Czebyszewa.

Zobacz też

• nierówność Czebyszewa-Bienayme
• nierówność Markowa
• wykładnicza nierówność Czebyszewa