Niejednorodny proces Poissona

Niejednorodny (niestacjonarny) proces Poissona – liczący proces stochastyczny

Definicja

$(N_t{)}_{t\ge 0}$ nazywamy niejednorodnym procesem Poissona z funkcją intensywności $\lambda (t),t\ge 0$ jeśli:

1. $N_0=0.$
2. $(N_t{)}_{t\ge 0}$ ma niezależne przyrosty.
3. $P(N_{t+h}-N_t=1)=\lambda (t)h+o(h).$
4. $P(N_{t+h}-N_t\ge 2)=o(h).$

Gdy $\lambda (t)=\lambda$ to otrzymujemy jednorodny proces Poissona

Funkcja średnia

Definicja. Funkcją średniej niejednorodnego procesu Poissona nazywamy funkcję $m(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\lambda (s)ds.$

Własności

Można wykazać, że $N_{t+s}-N_t\sim Pois(m(s+t)-m(t)).$ Widać tutaj dlaczego funkcja m nosi nazwę funkcji średniej. Mianowicie $N_t\sim Pois(m(t))$ oraz $E(N_t)=m(t).$