Moment Zernikego

Momenty Zernikego – współczynniki rozwinięcia funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych (najczęściej reprezentującej obraz) względem wielomianów Zernikego. Nazwa moment jest tu użyta w analogii do definicji klasycznych momentów.

Definicja

Moment zespolony

Moment Zernikego rzędu $n,m$ funkcji $f(x,y)$ definiuje się jako:

$A_{nm}=\frac{n+1}{\pi }\underset{x^2+y^2⩽1}{\iint }f(x,y)\overline{V_n^m(\rho ,\theta )}dxdy,$

gdzie:

$n$ jest liczbą naturalną,

$m$ jest liczbą całkowitą taką, że $0⩽|m|⩽n,$ oraz $n-|m|$ jest parzyste

$\rho ,\theta$ są współrzędnymi biegunowymi punktu $(x,y),$ czyli:$\rho =\sqrt{x^2+y^2},$ $\theta =\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),$

$V_n^m(\rho ,\theta )$ jest zespolonym wielomianem Zernikego,

$\overline{V_n^m(\rho ,\theta )}$ oznacza sprzężenie liczby zespolonej.

Moment rzeczywisty

Ze względu na to, iż funkcje obrazów są funkcjami rzeczywistymi, wygodnie jest korzystać z pary rzeczywistych momentów Zernikego:

$C_{nm}=\frac{2(n+1)}{\pi }\underset{x^2+y^2⩽1}{\iint }f(x,y)R_n^m(\rho )\cos (m\theta )dxdy,$

$S_{nm}=\frac{2(n+1)}{\pi }\underset{x^2+y^2⩽1}{\iint }f(x,y)R_n^m(\rho )\sin (m\theta )dxdy,$

gdzie:

$R_n^m$ jest wielomianem radialnym.

Rzeczywiste i zespolone momenty Zernikego są powiązane zależnościami:

$C_{nm}=2\mathrm{\Re }(A_{nm}),$

$S_{nm}=-2\mathrm{\Im }(A_{nm}),$

$A_{nm}=\overline{A_{n,-m}}.$

Własności

Rekonstrukcja obrazu

Mając dane momenty Zernikego, możemy rekonstruować obraz z dowolną dokładnością:

$\hat{f}(x,y)=\sum _{n=0}^{n_{\max }}\sum _m{A}_{nm}{V}_n^m(\rho ,\theta ).$

Przykłady rekonstrukcji

Obraz oryginalny	Obraz zrekonstruowany
	$n_{\max }=5$	$n_{\max }=10$	$n_{\max }=15$	$n_{\max }=20$

Momenty obrazu obróconego

Rozważmy wersję obrazu $f(x,y)$ obróconą o kąt $\alpha$ względem jego środka. Można to opisać jako:

$f^{\alpha }(x,y)=f^{\alpha }(\rho ,\theta )=f(\rho ,\theta -\alpha ).$

Wówczas moment n,m takiego obrazu wyniesie:

$A_{nm}^{\alpha }=A_{nm}\exp (-im\alpha ).$

Momenty obrazu odbitego

Rozważmy wersję obrazu $f(x,y)$ odbitą względem prostej przechodzącej przez środek obrazu pod kątem $\beta .$ Można to opisać jako:

$f^{\beta }(x,y)=f^{\beta }(\rho ,\theta )=f(\rho ,2\beta -\theta ).$

Wówczas moment n,m takiego obrazu wyniesie:

$A_{nm}^{\beta }=\overline{A_{nm}}\exp (-i2m\beta ).$

Zastosowanie

Ze względu na wymienione właściwości, momenty Zernikego mogą służyć do wyznaczania cech obrazu, które są niezależne od jego obrotu i odbicia. Cechy takie mogą służyć w zadaniu rozpoznawania wzorców.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę