Miotełka Knastera-Kuratowskiego

Miotełka Knastera-Kuratowskiego

Miotełka Knastera-Kuratowskiego (lub miotełka Kuratowskiego) – przykład punktokształtnej spójnej przestrzeni topologicznej, która po usunięciu pewnego punktu jest (jako podprzestrzeń) dziedzicznie niespójna, ale nie całkowicie niespójna. Przestrzeń ta została skonstruowana w 1921 przez Kazimierza Kuratowskiego i Bronisława Knastera.

Konstrukcja

Niech $C$ będzie zbiorem Cantora zawartym w odcinku $[0,1]\times \{0\}\subset {ℝ}^2$ oraz niech $p=(\frac{1}{2},\frac{1}{2}).$ Dla każdego punktu $c\in C$ niech $L(c)$ oznacza odcinek łączący punkt $p$ z punktem $c.$ Jeśli $c\in C$ jest końcem pewnego przedziału usuwanego podczas konstrukcji zbioru Cantora, to niech

$X_c=\{(x,y)\in L(c):y\in \mathbb{Q}\},$

oraz

$X_c=\{(x,y)\in L(c):y\notin \mathbb{Q}\}$

dla pozostałych punktów. Przestrzeń

$M=\bigcup _{c\in C}{X}_c$

nazywana jest miotełką Kuratowskiego. Przestrzeń $M$ jest spójna, ale $M\setminus \{p\}$ jest dziedzicznie niespójna.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę