Miara martyngałowa

Miara martyngałowa (lub miara obojętna na ryzyko) – jedno z podstawowych pojęć z zakresu matematyki finansowej. Używa się go do wyceny instrumentów bazowych oraz pochodnych na rynkach zupełnych.

Definicja

Niech $B_t$ oznacza wartość instrumentu dyskontowego w momencie $t,$ a $V_t$ cenę instrumentu o wypłacie $X$ zapadającego w chwili $T.$ Miarą martyngałową $P^{*}$ nazywamy taką miarę probabilistyczną, że:

1. ${\mathbb{P}}^{*}\sim \mathbb{P}$ (miara jest równoważna rzeczywistej mierze),
2. $V_t={\mathrm{E}}_{P^{*}}(\frac{B_t}{B_T}X|{ℱ}_t).$

Dla rynków skończonych zachodzenie powyższego warunku dla procesów cen instrumentów bazowych $S_t$ jest równoważna jego prawdziwości dla instrumentów pochodnych.

Przykłady

Model dwumianowy

Dla jednookresowego modelu CRR o własności $S_1=S_{o}U,$ gdzie $U$ przyjmuje wartości $1+a$ oraz $1+b,$ a $B_t=1+r$ miara martyngałowa jest zdefiniowana w następujący sposób:

$\mathbb{P}(U=1+a)=\frac{b-r}{b-a},$

$\mathbb{P}(U=1+b)=\frac{r-a}{b-a}.$

Warunkiem koniecznym dla braku istnienia arbitrażu jest ograniczenie na stopę procentową $r\in (\min \{a,b\},\max \{a,b\}).$

Dla $n$-okresowego modelu CRR miara martyngałowa przyjmuje następującą postać:

$\mathbb{P}(S_n=S_0(1+a{)}^k(1+b{)}^{n-k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{(b-r{)}^k(r-a{)}^{n-k}}{(b-a{)}^n}.$

Model Blacka-Scholesa

W klasycznym modelu Blacka-Scholesa miarą martyngałową $P^{*}$ określa równanie:

$d{\mathbb{P}}^{\mathbb{*}}=exp(\frac{r-\mu }{\sigma }{W}_T-\frac{T}{2}{\left(\frac{r-\mu }{\sigma }\right)}^2)d\mathbb{P},$

gdzie:

$\mu$ – współczynnik dryfu,

$\sigma$ – współczynnik zmienności,

$r$ – bezryzykowna stopa procentowa.

Proces

$W_t^{B-S}=W_t-\frac{r-\mu }{\sigma }t$

jest procesem Wienera w mierze martyngałowej.

Wzór ten można uzyskać po zastosowaniu twierdzenia Girsanowa.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę