Drzewo dwumianowe (ekonomia)

Drzewo dwumianowe – model rynku umożliwiający wycenę instrumentów pochodnych; jest to model dyskretny, tzn. zakłada, że ceny na rynku zmieniają się jedynie w ustalonych momentach.

Założenia

• Na rynku dostępne są:
  • rachunek bankowy przynoszący bez ryzyka stałą stopę dochodu;
  • instrument ryzykowny (akcja) o nieznanej wartości w przyszłości;
• handel na rynku może odbywać się jedynie w określonych momentach $0=t_0,t_1,\dots ,t_n=T$ przedziału czasowego $[0,T];$
• liczba możliwych scenariuszy dotyczących kształtowania się cen akcji w przyszłości jest skończona;
• wysokość wypłaty (wypłat) z instrumentu pochodnego, który chcemy wycenić, zależy jedynie od kształtowania się cen akcji;
• rynek jest pozbawiony możliwości arbitrażu, nie ma kosztów transakcyjnych, akcje są doskonale podzielne, nie ma ograniczeń krótkiej sprzedaży.

Drzewo dwumianowe jednookresowe

W modelu dwumianowym jednookresowym mamy $n=1,$ rozważamy więc wartości jedynie w dwóch punktach czasu: $t_0=0$ oraz $t_1=T.$ Zbiór możliwych scenariuszy jest dwuelementowy, modelujemy go jako przestrzeń probabilistyczną $(\mathrm{\Omega },ℱ,𝖯),$ gdzie

• $\mathrm{\Omega }=\{{\omega }_u,{\omega }_d\},$
• $ℱ=2^{\mathrm{\Omega }}$ – $\sigma$-ciało wszystkich podzbiorów $\mathrm{\Omega },$
• $𝖯$ – miara probabilistyczna (może opisywać rzeczywiste prawdopodobieństwo lub prawdopodobieństwo subiektywne inwestora) spełniająca warunek

$𝖯(\{{\omega }_u\})=p>0,$ $𝖯(\{{\omega }_d\})=1-p.$

Wypłatą (z instrumentu pochodnego) w modelu jednookresowym będziemy nazywać zmienną losową $X$ określoną na przestrzeni $\mathrm{\Omega }.$

Proces ceny rachunku bankowego

Zakładamy, że środki ulokowane na rachunku bankowym w chwili $0$ przynoszą bez ryzyka stopę dochodu $r$ w chwili $T.$ Jeśli przez $B_t$ oznaczymy wartość w chwili $t$ jednostki ulokowanej na rachunku bankowym, mamy:

$B_0=1,$

$B_T({\omega }_u)=B_T({\omega }_d)=1+r.$

Proces ceny akcji

Niech $S_t$ oznacza cenę akcji w chwili $t.$ Zakładamy, że

$S_0=s>0,$

$S_T({\omega }_u)=S_{0}u,$

$S_T({\omega }_d)=S_{0}d,$

przy czym aby rynek był wolny od arbitrażu wymagamy, żeby $d<1+r<u.$

Wycena instrumentu pochodnego

Idea wyceny wypłaty opiera się na konstrukcji portfela replikującego, tzn. portfela składającego się z takiej ilości jednostek rachunku bankowego oraz z takiej ilości akcji, aby jego wartość w chwili $T$ była równa wysokości wypłaty $X.$ Za cenę sprawiedliwą wypłaty przyjmuje się wartość tak skonstruowanego portfela w chwili $0.$ Okazuje się, że wynika z tego następujący wzór na wycenę wypłaty $X:$

$\mathrm{\Pi }(X)=\frac{1}{1+r}{𝖤}_{{𝖯}^{*}}(X),$

gdzie ${𝖯}^{*}$ zdefiniowana w następujący sposób:

${𝖯}^{*}(\{{\omega }_u\})=\frac{(1+r)-d}{u-d},$

${𝖯}^{*}(\{{\omega }_d\})=\frac{u-(1+r)}{u-d},$

jest równoważną $P$ miarą martyngałową (tzn. taką, że ${\left\{\frac{S_k}{B_k}\right\}}_{k=0,1}$ (zdyskontowany proces cen) jest ${𝖯}^{*}$-martyngałem).

Drzewo dwumianowe wielookresowe

Model jednookresowy da się uogólnić na $n>1,$ otrzymując model dwumianowy wielookresowy, zwany także modelem Coxa-Rossa-Rubinsteina (CRR). Zakładamy, że ceny mogą się zmieniać jedynie w momentach $1,2,\dots ,n.$ W modelu tym pracujemy na przestrzeni $(\mathrm{\Omega },ℱ,𝖰),$ gdzie

• $\mathrm{\Omega }=\{{\omega }_u,{\omega }_d{\}}^n,$
• $ℱ=2^{\mathrm{\Omega }},$
• $𝖰={𝖯}^{\otimes n}$ (miara produktowa),

gdzie $𝖯(\{{\omega }_u\})=p>0,$ $𝖯(\{{\omega }_d\})=1-p.$

Wprowadzamy ponadto filtrację $\{{ℱ}_t{\}}_{t=0,1,\dots ,n}$ reprezentującą zasób wiedzy o rynku do chwili $t$ włącznie.

Proces ceny rachunku bankowego

$B_t=(1+r{)}^t$

Proces ceny akcji

$S_0=s>0,$

$S_{t+1}=S_t{Z}_{t+1},$

gdzie $Z_1,Z_2,\dots ,Z_n$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie dwupunktowym: przyjmują wartość $u$ z prawdopodobieństwem $p$ oraz wartość $d$ z prawdopodobieństwem $1-p,$ ponadto zmienna $Z_i$ jest ${ℱ}_i$-mierzalna. Innymi słowy zakładamy, że w kolejnym momencie czasu cena może zwiększyć się o czynnik $u$ bądź zredukować czynnikiem $d$ przy czym prawdopodobieństwo pójścia w górę bądź w dół jest stałe w czasie. Zasób dostępnej informacji jest wynikiem obserwacji cen akcji, możemy więc napisać

${ℱ}_t=\sigma (\{S_s:s⩽t\}).$

Można pokazać, że, podobnie jak w przypadku drzewa jednookresowego, na rynku nie ma arbitrażu wtedy i tylko wtedy gdy $d<1+r<u.$

Wycena instrumentu pochodnego

Wypłatą będziemy nazywać zmienną losową ${ℱ}_T$-mierzalną.

W modelu wielookresowym bez arbitrażu również można znaleźć równoważną miarę martyngałową ${𝖰}^{*}.$ Jest ona produktem miar ${𝖯}^{*}$ takich jak w przypadku jednookresowym. Proces ceny wypłaty $X$ w tym modelu można przedstawić następująco:

${\mathrm{\Pi }}_t(X)=\frac{1}{(1+r{)}^{(T-t)}}{𝖤}_{{𝖰}^{*}}(X|{ℱ}_t).$

W szczególności, dla wypłaty postaci $X=f(S_T)$ zachodzi wzór

${\mathrm{\Pi }}_t(X)=\frac{1}{(1+r{)}^{(T-t)}}\sum _{i=0}^t(\genfrac{}{}{0ex}{}{T-t}{i})p_{*}^i(1-p_{*}{)}^{(T-t-i)}f(S_t{u}^i{d}^{(T-t-i)}),$

gdzie:

$p_{*}=\frac{(1+r)-d}{u-d}.$

Implementacja

Krok 1

W każdym kroku (wierzchołku drzewa) cena akcji idzie albo w górę $u$ razy albo w dół $d$ razy, przy $u⩾1$ i $0<d⩽1.$ Jeżeli zatem $S$ oznacza aktualną cenę akcji, to w następnym wierzchołku cena ta będzie wynosić albo $S_{up}=S\cdot u$ albo $S_{down}=S\cdot d.$

Współczynniki $u$ i $d$ wyznaczane są w oparciu o współczynnik zmienności $\sigma ,$ oraz interwał czasowy $t$ pomiędzy kolejnymi wierzchołkami. Z założenia mówiącego, że wariancja logarytmu ceny akcji w chwili $t$ wynosi ${\sigma }^{2}t,$ wnioskujemy, że

$u=e^{\sigma \sqrt{t}},$

$d=e^{-\sigma \sqrt{t}}=\frac{1}{u}.$

W szczególności, cena instrumentu jest taka sama gdy na pewnym kroku idzie ona w górę a później w dół bądź odwrotnie; rzeczona cecha modelu znacząco poprawia wydajność obliczeniową z uwagi na zredukowaną liczbę rozważanych ścieżek. Ostatecznie

$S_n=S_0\cdot u^{N_u-N_d},$

gdzie $N_u$ i $N_d$ oznaczają, odpowiednio, liczbę wierzchołków w których cena instrumentu poszła do góry bądź w dół.

Krok 2

W ostatnim wierzchołku drzewa, tj. wierzchołku w którym dokonywana jest wycena instrumentu, jego wartość wynosi odpowiednio

$\max \{S_n-K,0\},$ dla opcji kupna,

$\max \{K-S_n,0\},$ dla opcji sprzedaży,

gdzie $K$ oznacza cenę wykonania.

Krok 3

Proces wyceny odbywa się niejako wstecz, rozpoczynając od ostatniego wierzchołka, a skończywszy na pierwszym; jest to szukana wycena instrumentu finansowego.

Pod założeniem istnienia miary obojętnej na ryzyko, sprawiedliwa cena instrumentu równa jest wartości oczekiwanej przyszłych wypłat zdyskontowanych przez stopę oprocentowania wolną od ryzyka. Dokładniej,

$C_{t-\mathrm{\Delta }t,i}=e^{-r\mathrm{\Delta }t}(p{C}_{t,i+1}+(1-p)C_{t,i-1}),$

gdzie:

$C_{t,i}$ ceną instrumentu na $i$-tym wierzchołku w chwili $t,$

$p=\frac{e^{(r-q)\mathrm{\Delta }t}-d}{u-d}$

jest tak dobranym prawdopodobieństwem by odpowiadający mu rozkład dwumianowy aproksymował geometryczny ruch Browna (z parametrami $r$ and $\sigma$) opisujący fluktuację cen,

$q$ jest stopą dywidendy z instrumentu finansowego. Pod założeniem istnienia miary obojętnej na ryzyko, ceny w przyszłości powinny mieć zerową spodziewaną stopę wzrostu, a więc często przyjmuje się $q=r$ dla kontraktów futures.

Rozszerzenia modelu

Możliwe jest rozszerzenie modelu CRR na następujące sposoby:

• opuścić założenie jednakowego rozkładu zmiennych $Z_i,$
• wprowadzić zmienną w czasie stopę procentową,
• dopuścić, aby akcja wypłacała dywidendę.

Związek z modelem Blacka-Scholesa

Słynny model Blacka-Scholesa jest w pewnym sensie granicą pewnych modeli CRR. $n$-te przybliżenie modelu Blacka-Scholesa z parametrami $r,\sigma ,T$ jest $n$-okresowym modelem CRR z parametrami

$u=e^{\sigma {\sqrt{\delta }}_n},$ $d=\frac{1}{u}=e^{-\sigma {\sqrt{\delta }}_n}.$

Można pokazać, że proces $\{S_t^n{\}}_{0⩽t⩽T},$ będący liniową interpolacją procesu otrzymanego w tak skonstruowanym modelu CRR zbiega słabo w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku $[0,T]$ do procesu $\{S_t{\}}_{0⩽t⩽T}$ spełniającego stochastyczne równanie różniczkowe

$\mathrm{d}{S}_t=r{S}_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}{W}_t.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj książkę