Metoda Romberga

Metoda Romberga – jedna z metod całkowania numerycznego, opierająca się na metodzie ekstrapolacji Richardsona, pozwalająca przybliżać wartość całki:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

nieznanej (jawnie) funkcji $f.$ Funkcja ta jest zazwyczaj znana tylko na dyskretnym zbiorze argumentów (np. jako wynik pomiarów stanu urządzenia (wartość funkcji) dla różnych stanów (argument funkcji)).

Niech dany będzie zbiór $a=x_0,x_1,\dots ,x_{2^i}=b$ dzielących przedział $(a,b)$ na $2^i$ równych części taki, że znane są wartości funkcji $f(x_i)=y_i$

Niech $h_i=\frac{b-a}{2^i},$ oznacza długość kroku.

Metodę Romberga można opisać rekurencyjnie:

$\{\begin{array}{cc}{R}_{0,i}& :R_{2^i}=h_i\cdot \sum _{k=0}^{2^i-1}\left(\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}\right)\\ R_{m,i}& :\frac{4^m\cdot R_{m-1,i+1}-R_{m-1,i}}{4^m-1}\end{array}.$

$R_{0,i}$ jest wzorem trapezów, po obliczeniu pierwszej kolumny tzw. tablicy Romberga, kolejne kolumny obliczane są rekurencyjnie, otrzymując coraz lepsze przybliżenie funkcji:

$R_{0,0}$

$R_{0,1}$ $R_{1,0}$

$R_{0,2}$ $R_{1,1}$ $R_{2,0}$

$R_{0,3}$ $R_{1,2}$ $R_{2,1}$ $R_{3,0}$

$\dots$

Przykład wykorzystania metody Romberga

Wizualizacja elementu numer 1 tabeli algorytmu Romberga, który powstał z dwóch wyliczeń całek metodą trapezową – dla 1 i 2 przedziałów

Załóżmy, że dane są wyniki pomiarów pewnej funkcji w punktach $x_0,x_1,x_2,x_3,x_4$

$i$	0	1	2	3	4
$x_i$	0	0,25	0,5	0,75	1
$y_i$	1	2	2	0	1

Dla tego przypadku:

• $i=2,$
• $a=0,$
• $b=1,$
• $h_0=\frac{1-0}{1}=1,$
• $h_1=\frac{1-0}{2}=0,5,$
• $h_2=\frac{1-0}{2^2}=0,25.$

Ponieważ $i=2$ poszukiwana będzie tablica Romberga typu:

$R_{0,0},$

$R_{0,1}$ $R_{1,0},$

$R_{0,2}$ $R_{1,1}$ $R_{2,0}.$

Obliczenie pierwszej kolumny tablicy Romberga:

$R_{0,0}=h_0\cdot \sum _{k=0}^0\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}=\frac{1+1}{2}=1,$

$R_{0,1}=h_1\cdot \sum _{k=0}^1\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}=0,5\cdot (\frac{1+2}{2}+\frac{2+1}{2})=1,5,$

$R_{0,2}=h_2\cdot \sum _{k=0}^3\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}=0,25\cdot (\frac{1+2}{2}+\frac{2+2}{2}+\frac{2+0}{2}+\frac{0+1}{2})=1,25.$

Oraz kolejnych wyrazów korzystając z poprzednich wyników:

$R_{1,0}=\frac{4^1\cdot R_{0,1}-R_{0,0}}{4^1-1}=\frac{5}{3}=1,666667,$

$R_{1,1}=\frac{4^1\cdot R_{0,2}-R_{0,1}}{4^1-1}=\frac{7}{6}=1,166667,$

$R_{2,0}=\frac{4^2\cdot R_{1,1}-R_{1,0}}{4^2-1}=\frac{17}{15}=1,133333.$

Błąd metody Romberga

Oznaczając $h_n=\frac{1}{2^n}(b-a),$ błąd, tj. przekłamanie wyniku otrzymanego metodą Romberga względem wyniku prawdziwego w notacji dużego O wynosi (Mysovskikh 2002)

$O\left(h_n^{2m+2}\right)$ dla wyrazu R(n,m).