Logarytm całkowy

Wykres funkcji li(x) w zakresie [1,01; 25]

Logarytm całkowy – funkcja rzeczywista określona wzorem:

$\mathrm{l}\mathrm{i}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\ln |t|}=\ln |\ln |x||+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\ln |x|{)}^k}{k\cdot k!}.$

Całka określająca funkcję jest całką przestępną – nie daje się wyrazić w postaci złożenia skończenie wielu funkcji elementarnych.

Gdy $x>1,$ całka w punkcie $t=1$ jest rozbieżna. W tym przypadku przez $\mathrm{l}\mathrm{i}x$ należy rozumieć wartość główną całki niewłaściwej.

W teorii liczb częściej używa się funkcji $\mathrm{L}\mathrm{i}(x)$ zdefiniowanej następująco:

$\mathrm{L}\mathrm{i}(x)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\ln |t|}$

i nazywanej resztą logarytmu całkowego.

Logarytm całkowy jest związany z funkcją całkowo-wykładniczą zależnością:

$\mathrm{l}\mathrm{i}x=\mathrm{e}\mathrm{i}(\ln |x|)$

Zobacz też

• sinus i cosinus całkowy

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-05-31].
• Szablon:Otwarty dostęp Integral logarithm Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].